- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •Конечные разности функции .
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Некоторые регрессионные модели.
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
4.9. Вопросы для самопроверки
Объясните геометрический смысл определенного интеграла, дайте определение интегральной суммы, приведите примеры.
Запишите формулу Ньютона-Лейбница и перечислите возможные причины ограниченности ее использования на практике.
С чем связано появление погрешности вычисления интегралов в численных методах интегрирования?
Поясните принцип сокращения погрешности интегрирования, связанной с выбором метода аппроксимации подынтегральной функции.
Поясните основную идею методов Ньютона-Котеса.
Поясните основную идею методов сплайнов.
Поясните основную идею методов наивысшей алгебраической точности.
Поясните основную идею методов Монте-Карло.
Перечислите два основные источника погрешности, возникающей при численном интегрировании, поясните ее зависимость от количества отрезков разбиения исходного отрезка интегрирования.
Дайте определение узлов и шагов интегрирования, приведите примеры методов Ньютона-Котеса.
Запишите формулу левых прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.
Запишите формулу правых прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.
Запишите формулу средних прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.
Приведите геометрические примеры погрешности для методов левых, правых и средних прямоугольников.
Объясните принцип замены подынтегральной функции полиномом первой степени.
Запишите формулу трапеций для постоянного и переменного шагов интегрирования, приведите геометрический пример.
Объясните принцип замены подынтегральной функции полиномом второй степени.
Запишите формулу Симпсона для вычисления определенных интегралов.
Объясните принцип определения значений коэффициентов полинома второй степени, используемого для замены подынтегральной функции.
Объясните принцип оценки погрешностей методов Ньютона-Котеса.
Дайте определение главного члена погрешности и порядка метода интегрирования, приведите примеры.
Объясните принцип вычисления интеграла с заданной точностью.
Дайте определение адаптивных алгоритмов и объясните принцип определения в них длины шага интегрирования.
Объясните принцип вычисления определенных интегралов от разрывных функций, приведите геометрические примеры.
Объясните принцип вычисления несобственных интегралов с бесконечной границей интегрирования, приведите геометрический пример.
Объясните принцип вычисления несобственных интегралов с подынтегральной функцией, обращающейся в бесконечность хотя бы в одной точке отрезка интегрирования, приведите геометрические примеры.
Объясните принцип вычисления двойных интегралов по прямоугольной области интегрирования с помощью формул методов Ньютона-Котеса, приведите пример.
Приведите геометрический пример разбиения прямоугольной области интегрирования для двойного интеграла, вычисляемого по формуле Симпсона.
Поясните принцип выведения формулы Симпсона для вычисления двойного интеграла по прямоугольной области интегрирования.
Запишите формулу Люстерника для вычисления двойного интеграла по области нтегрирования, представляющей собой единичный круг, приведите геометрический пример.
Изложите сущность применения методов Монте-Карло для вычисления двойных интегралов по произвольной области интегрирования, приведите геометрический пример.
Какова идея вычисления определенного интеграла методами Монте-Карло?
Объясните сущность первого варианта метода Монте-Карло.
Объясните сущность второго варианта метода Монте-Карло.
Объясните сущность третьего варианта метода Монте-Карло.
В чем заключается особенность численного интегрирования с использованием полиномов различных степеней?
Почему метод средних прямоугольников неприменим для численного интегрирования таблично заданных функций?
Каковы преимущества формулы Симпсона по сравнению с формулой трапеций и следствием чего являются данные преимущества?
Запишите формулу Симпсона для случаев деления исходного отрезка интегрирования на четное и произвольное количество частичных отрезков.
Запишите оценки погрешностей различных методов Ньютона-Котеса, проведите их сравнение.