4.8. Методы Монте-Карло

Методы статистических испытаний, называемые также методами Монте-Карло, применяются для решения разнообразных задач вычислительной математики и, в том числе, для вычисления определенных интегралов

. (*)

Рассмотрим один из простых вариантов метода Монте-Карло, который можно интерпретировать как статистический метод прямоугольников (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Пример метода Монте-Карло (вариант 1 – статистический метод прямоугольников).

На отрезке интегрирования выберем случайных точек , являющихся значениями случайной величины , равномерно распределенной на данном отрезке. Для каждой точки , , вычислим площадь прямоугольника, одна сторона которого равна , а вторая – значению подынтегральной функции в данной точке: . Так как значения – случайные величины, то значения площадей также носят случайный характер. В качестве приближенного значения интеграла можно принять результат усреднения площадей , :

. (4.17)

Погрешность вычисления интеграла будет уменьшаться с ростом числа испытаний и может быть приблизительно оценена следующим образом . Полученная формула формально совпадает с формулой правых прямоугольников (4.5), но отличие состоит в том, что в формуле (4.5) узлы интегрирования расположены регулярно, а в данном случае расположение узлов носит случайный характер.

Формула (4.17) непосредственно обобщается на кратные интегралы

,

где – объем области интегрирования.

Теоретическое обоснование рассмотренного варианта метода Монте-Карло для вычисления интегралов состоит в следующем. Пусть – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке . Это означает, что ее плотность вероятности задается соотношением

Тогда любая функция также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание может быть рассчитано следующим образом:

,

откуда

.

Если провести серию из независимых испытаний, в которых генерируются случайные числа и вычисляются значения , то для оценки математического ожидания можно использовать среднее значение результатов независимых реализаций :

,

что в итоге приводит к соотношению

,

которое совпадает с формулой (4.17).

В другом варианте метода Монте-Карло интеграл

приводится к виду ,

где на отрезке .

Для вычисления интеграла генерируются пары значений , , случайных величин x и y, равномерно распределенных на отрезке , которые можно рассматривать как координаты точек в единичном квадрате (рис. 4.18).

Рис. 4.18. Пример метода Монте-Карло (вариант 2).

При равномерном распределении точек в квадрате за приближенное значение интеграла принимается отношение количества точек , попавших под кривую или на нее, к общему числу испытаний (точек)

.

Представленный алгоритм обобщается на кратные интегралы, а также может быть адаптирован для случая, когда исходный интеграл не приводится к виду , где на отрезке , рис. 4.19.

Рис. 4.19. Пример метода Монте-Карло (вариант 3).

В рассматриваемом варианте метода Монте-Карло для вычисления интеграла в диапазонах и генерируются пары значений , , случайных величин x и y, которые можно рассматривать как координаты точек в прямоугольнике со сторонами и . При равномерном распределении точек в данном прямоугольнике за приближенное значение интеграла принимается отношение количества точек , попавших под кривую или на нее, к общему числу испытаний (точек) , умноженное на площадь прямоугольника

.

Для использования методов Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, как и в других их приложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения вероятностей. Наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на ЭВМ состоит в использовании алгоритма, реализующего генерацию случайных чисел, равномерно распределенных в некотором заданном диапазоне. Поскольку эти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то получаемую последовательность (одну и ту же) в некоторых случаях можно воспроизвести сколько угодно раз. В этом смысле получаемые числа не совсем случайны (псевдослучайны). Тем не менее, в рамках данной последовательности, получающиеся числа обладают всеми необходимыми статистическими свойствами, характерными для значений случайной величины.