- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •Конечные разности функции .
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Некоторые регрессионные модели.
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
2.3. Вопросы для самопроверки
Дайте определение алгебраических и трансцендентных уравнений, приведите примеры.
Дайте определение прямых и итерационных методов решения нелинейных уравнений, охарактеризуйте их отличия.
Из каких этапов состоит процесс численного решения нелинейных уравнений и каково их содержание?
Объясните принцип локализации корней нелинейного уравнения на области определения соответствующей функции, приведите примеры.
Объясните принцип локализации корней нелинейного уравнения в результате построения эквивалентного уравнения , приведите графические примеры.
Объясните табличный подход к локализации корней нелинейного уравнения, приведите графические примеры.
Приведите и сравните различные способы локализации корней нелинейного уравнения.
Перечислите основные этапы алгоритма аналитической локализации корней нелинейного уравнения и раскройте их сущность.
Объясните основную идею численных методов определения приближенных значений корней нелинейных уравнений.
Дайте определение сходимости итерационного процесса, приведите примеры различных видов сходимости.
Раскройте сущность метода половинного деления.
Объясните условия прекращения итерационного процесса метода половинного деления.
Охарактеризуйте сходимость и эффективность метода половинного деления.
Приведите формулы расчета количества итераций, необходимого для достижения заданной точности в методе половинного деления.
Раскройте сущность полосы шумов, а также связанного с ней условия прекращения итерационного процесса метода половинного деления.
Докажите оптимальность половинного деления отрезка локализации.
Раскройте сущность метода хорд, приведите пример.
В чем заключается отличие метода хорд от метода половинного деления и что в них общего?
Раскройте сущность и условия применимости метода Ньютона.
Каковы условия прекращения итерационного процесса метода Ньютона?
Охарактеризуйте сходимость и эффективность метода Ньютона и зависимость его сходимости от выбора начального приближения корня.
Объясните принцип выбора начального приближения в методе Ньютона.
Раскройте сущность модифицированного метода Ньютона.
Раскройте сущность метода секущих, приведите пример.
Объясните принцип выбора двух начальных приближений в методе секущих и его отличия от методов Ньютона и хорд.
Раскройте сущность метода итераций.
Каковы условия сходимости итерационной последовательности в методе итераций?
Приведите графические примеры и условия одностороннего сходящегося и расходящегося процесса метода итераций.
Приведите графические примеры и условия двухстороннего сходящегося и расходящегося процесса метода итераций.
Объясните принцип приведения нелинейного уравнения к итерационной форме в методе итераций.
Каковы условия односторонней и двусторонней сходимости в методе итераций, приведите примеры?
Каким образом можно достичь максимальной скорости сходимости итерационного процесса в методе итераций и почему?
Раскройте сущность комбинированного метода хорд и касательных.
Опишите схему решения нелинейного уравнения комбинированным методом хорд и касательных.
Перечислите требования, предъявляемые к свойствам функций в методах половинного деления, хорд, Ньютона, секущих и итераций.