- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •Конечные разности функции .
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Некоторые регрессионные модели.
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
Премиальные фонды и прибыли предприятий
№ предприятия |
Премиальный фонд (у. е.) |
Прибыль (у. е.) |
1 |
100 |
1000 |
2 |
150 |
1200 |
3 |
200 |
1300 |
4 |
150 |
1100 |
5 |
100 |
1000 |
6 |
50 |
900 |
7 |
130 |
1200 |
8 |
70 |
1000 |
9 |
200 |
1300 |
10 |
30 |
1200 |
11 |
150 |
1000 |
12 |
120 |
900 |
Решение. Для проведения регрессионного анализа составим таблицу со вспомогательными расчетами.
Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
№ (i) |
y |
x |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
1/x |
1/x2 |
1 |
100 |
1000 |
1,00106 |
1,00109 |
1,001012 |
1,001015 |
1,001018 |
1,0010-3 |
1,0010-7 |
2 |
150 |
1200 |
1,44106 |
1,73109 |
2,071012 |
2,491015 |
2,991018 |
8,3310-4 |
6,9410-7 |
3 |
200 |
1300 |
1,69106 |
2,20109 |
2,861012 |
3,711015 |
4,831018 |
7,6910-4 |
5,9210-7 |
4 |
150 |
1100 |
1,21106 |
1,33109 |
1,461012 |
1,611015 |
1,771018 |
9,0910-4 |
8,2610-7 |
5 |
100 |
1000 |
1,00106 |
1,00109 |
1,001012 |
1,001015 |
1,001018 |
1,0010-3 |
1,0010-6 |
6 |
50 |
900 |
8,10105 |
7,29108 |
6,561011 |
5,901014 |
5,311017 |
1,1110-3 |
1,2310-6 |
7 |
130 |
1200 |
1,44106 |
1,73109 |
2,071012 |
2,491015 |
2,991018 |
8,3310-4 |
6,9410-7 |
8 |
70 |
1000 |
1,00106 |
1,00109 |
1,001012 |
1,001015 |
1,001018 |
1,0010-3 |
1,0010-6 |
9 |
200 |
1300 |
1,69106 |
2,20109 |
2,861012 |
3,711015 |
4,831018 |
7,6910-4 |
5,9210-7 |
10 |
30 |
1200 |
1,44106 |
1,73109 |
2,071012 |
2,491015 |
2,991018 |
8,3310-4 |
6,9410-7 |
11 |
150 |
1000 |
1,00106 |
1,00109 |
1,001012 |
1,001015 |
1,001018 |
1,0010-3 |
1,0010-6 |
12 |
120 |
900 |
8,10105 |
7,29109 |
6,561011 |
5,901014 |
5,311017 |
1,1110-3 |
1,2310-6 |
Итого |
1450 |
13100 |
1,45107 |
1,641010 |
1,871013 |
2,171016 |
2,551019 |
1,1210-2 |
1,0610-5 |
(Продолжение)
Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
№ (i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6,90 |
47,72 |
4,61 |
1,00105 |
1,00108 |
1,001011 |
0,10 |
4,61103 |
31,81 |
690,78 |
2 |
7,09 |
50,27 |
5,01 |
1,80105 |
2,16108 |
2,591011 |
0,13 |
6,01103 |
35,53 |
1063,51 |
3 |
7,17 |
51,41 |
5,30 |
2,60105 |
3,38108 |
4,391011 |
0,15 |
6,89103 |
37,99 |
1434,02 |
4 |
7,00 |
49,04 |
5,01 |
1,65105 |
1,82108 |
2,001011 |
0,14 |
5,51103 |
35,09 |
1050,46 |
5 |
6,91 |
47,72 |
4,61 |
1,00105 |
1,00108 |
1,001011 |
0,10 |
4,61103 |
31,81 |
690,78 |
6 |
6,80 |
46,27 |
3,91 |
4,50104 |
4,05107 |
3,651010 |
0,06 |
3,52103 |
26,61 |
340,12 |
7 |
7,09 |
50,27 |
4,87 |
1,56105 |
1,87108 |
2,251011 |
0,11 |
5,84103 |
34,51 |
921,71 |
8 |
6,91 |
47,72 |
4,25 |
7,00104 |
7,00107 |
7,001010 |
0,07 |
4,25103 |
29,35 |
483,54 |
9 |
7,17 |
51,41 |
5,30 |
2,60105 |
3,38108 |
4,391011 |
0,15 |
6,89103 |
37,99 |
1434,02 |
10 |
7,09 |
50,27 |
3,40 |
3,60104 |
4,32107 |
5,181010 |
0,03 |
4,08103 |
24,11 |
212,70 |
11 |
6,91 |
47,72 |
5,01 |
1,50105 |
1,50108 |
1,501011 |
0,15 |
5,01103 |
34,61 |
1036,16 |
12 |
6,80 |
46,27 |
4,79 |
1,08105 |
9,72107 |
8,751011 |
0,13 |
4,31103 |
32,57 |
816,29 |
Итого |
83,85 |
586,09 |
56,06 |
1,63106 |
1,86109 |
2,161012 |
1,31 |
6,15104 |
391,98 |
10174,1 |
Составим системы нормальных уравнений по каждой из моделей:
1. Линейная:
2. Параболическая:
3. Кубическая:
4. Гиперболическая:
5. Показательная:
6. Степенная:
7. Логарифмическая:
Представленные системы линейных уравнений можно решить различными методами (подстановок, Крамера, Жордана-Гауса, обратной матрицы). Найденные коэффициенты регрессии и сами уравнения представлены в таблице.