Глава 4. Численное интегрирование

Задачи, в которых требуется вычисление интегралов, возникают почти во всех областях прикладной математики, например, многие критерии оценки качества проектируемого изделия вычисляются с помощью определенных интегралов, в теории вероятности интеграл от функции плотности вероятности определяет вероятность некоторого события, с помощью интегралов вычисляются геометрические характеристики объектов и т.д. Иногда удается найти аналитическую формулу для вычисления определённого интеграла функции, но значительно чаще этого сделать не удается. В таких ситуациях требуется применять различные методы численного интегрирования функций.

Задача численного интегрирования заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. В настоящее время разработано большое количество методов численного интегрирования функций, учитывающих различные особенности в постановке соответствующей задачи. В данной главе будут рассмотрены некоторые из подходов, в частности, приведены формулы вычисления интегралов, основанные на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции.

4.1. Понятие определенного интеграла

Перед тем как приступить непосредственно к рассмотрению методов численного интегрирования, рассмотрим теоретические основы, приводящие к понятию определенного интеграла. Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на отрезков точками , , …, следующим образом , причем , а . На каждом отрезке , , выберем некоторую точку ; обозначим длину данного отрезка через . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции на отрезке . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , , …, , так и от выбора точек , , …, на каждом из отрезков разбиения , .

Пусть функция неотрицательна на , тогда отдельное слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника со сторонами и , . В результате значение интегральной суммы равно суммарной площади под кусочной линией, образованной на каждом из отрезков соответствующей прямой , параллельной оси абсцисс, рис. 4.1. Для выбранного разбиения отрезка обозначим через максимальную из длин отрезков , («диаметр разбиения»).

Рис. 4.1. Графическая иллюстрация интегральной суммы.

Определение 4.1. Пусть предел интегральной суммы при существует, конечен и не зависит от способа выбора точек , , …, , а также , , …, . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

.

С геометрической точки зрения значением определенного интеграла является площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми , и (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Геометрическая интерпритация определенного интеграла.

Рассмотрим общий подход к решению задачи вычисления определенного интеграла. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой на отрезке , рис. 4.3.

Рис. 4.3. Ломаная линия в геометрической интерпритации определенного интеграла.

Фигура под ломаной состоит из элементарных геометрических фигур (трапеций и прямоугольников), площадь которых может быть вычислена с помощью формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то суммарная площадь фигур под ней и значение соответствующего интеграла приближенно равны. Данное равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Приведенные рассуждения носят качественный характер, для их использования на практике необходимо уточнить то, что описано нестрого: процедуру выбора ломаной и последующий переход к пределу.

В общем случае при реализации численных алгоритмов вычисления определенных интегралов от некоторой функции на отрезке полагаем, что на выбрана система точек и . Формулы такого вида называются квадратурными, коэффициенты и точки , , выбираются так, чтобы минимизировать погрешность вычисления интеграла.