- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •Конечные разности функции .
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Некоторые регрессионные модели.
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
Некоторые регрессионные модели.
№ |
Вид модели |
Уравнение модели |
Система нормальных уравнений Гаусса |
1. |
Линейная |
|
|
2. |
Параболическая |
|
|
3. |
Кубическая |
|
|
4. |
Гиперболическая |
|
|
5. |
Показательная |
|
|
6. |
Степенная |
|
|
7. |
Логарифмическая |
|
|
При проверке регрессионных моделей целесообразно найти значения их параметров, рассчитать величины и в качестве аналитической функции, описывающей зависимость, использовать ту, для которой минимально.
Рассмотрим пример. Пусть имеется три наблюдения зависимости значения от значения : , , . Требуется аппроксимировать данную зависимость линейной моделью , определив коэффициенты и , и параболической моделью , определив коэффициенты , и с помощью метода наименьших квадратов.
Решение. По исходным данным .
Проведем промежуточные вычисления для линейной модели:
; ; ; .
В результате откуда ; ; ; .
Получаем линейную модель: .
Рассчитаем сумму квадратов отклонений для линейной модели:
; ; ;
.
Проведем промежуточные вычисления для параболической модели:
; ; ; ; ; ; .
В результате получим сиситему уравнений
Решим полученную систему уравнений методом Гаусса. Далее представлен результат выполнения следующих действий:
Вычтем из второго уравнения первое.
Вычтем из третьего уравнения первое, домноженное на .
Вычтем из третьего уравнения второе, домноженное на 2.
Подставим значение , полученное из третьего уравнения, во второе и первое уравнения.
Подставим значение , полученное из второго уравнения, в первое.
Получим решение системы уравнений: , , .
Получаем параболическую модель: .
Рассчитаем сумму квадратов отклонений для параболической модели:
; ; ;
.
Сравним модели. Сравнив суммы квадратов отклонений полученных моделей, можно сделать вывод, что параболическая модель является лучшим результатом аппроксимации функции, чем линейная. Заметим, что в данном примере полученная парабола проходит через все точки аппроксимируемой зависимости, однако в более сложных примерах такое совпадение наблюдается крайне редко. Также следует отметить, что совпадение уравнений парабол, полученных в результате аппроксимации зависимости и ее интерполяции прямым методом (разд. 3.2.1) и полиномом Лагранжа (разд. 3.2.2) обусловлено простотой исходных данных задачи. В общем случае совпадение результатов применения трех данных методов не только не обязательно но и крайне маловероятно.
Рассмотрим пример. По данным, приведенным в таблице, требуется провести регрессионный анализ, используя следующие модели: линейную, параболическую, кубическую, гиперболическую, показательную, степенную, логарифмическую. Определить, какая из моделей точнее описывает зависимость между прибылью предприятия и его премиальным фондом. Наилучшую зависимость представить на графике, отобразив на нем исходные данные.