
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47
- •Глава 4. Численное интегрирование 75
- •Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108
- •Глава 6. Численное дифференцирование 139
- •Глава 7. Методы численной оптимизации 150
- •Предисловие
- •Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм в решении математических задач
- •1.1. Математическое моделирование и численные методы
- •1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления
- •1.3. Структура погрешности решения задач вычисления
- •1.4. Абсолютная и относительная погрешности
- •Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :
- •Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :
- •1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в памяти эвм
- •1.6. Графы вычислительных процессов
- •1.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
- •2.1. Локализация корней
- •2.2. Уточнение корней
- •2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2.2.2. Метод хорд
- •2.2.3. Метод Ньютона (касательных)
- •2.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •2.2.5. Метод секущих
- •2.2.6. Метод итераций
- •Б) односторонний расходящийся процесс; в) двухсторонний сходящийся процесс; г) двухсторонний расходящийся процесс.
- •2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций
- •3.1. Методы приближения функций
- •3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора
- •3.1.2. Полиномы Чебышева
- •3.1.3. Экономизация степенных рядов
- •3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций
- •3.2. Методы интерполяции функций
- •3.2.1. Прямой метод
- •3.2.2. Полином Лагранжа
- •3.2.3. Полином Ньютона
- •Конечные разности функции .
- •3.3. Методы аппроксимации функций
- •3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация
- •Некоторые регрессионные модели.
- •Премиальные фонды и прибыли предприятий
- •Расчет сумм для проведения регрессионного анализа
- •Коэффициенты регрессии
- •Расчет суммы квадратов отклонений по линейной модели
- •Сумма квадратов отклонений для рассматриваемых моделей
- •3.3.2. Полиномиальная аппроксимация
- •3.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Численное интегрирование
- •4.1. Понятие определенного интеграла
- •4.2. Классификация методов численного интегрирования
- •4.3. Методы Ньютона-Котеса
- •4.3.1. Методы прямоугольников
- •4.3.2. Метод трапеций
- •4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол)
- •4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса
- •4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •4.6. Особые случаи численного интегрирования
- •4.7. Вычисление кратных интегралов
- •Результаты вычисления значений функции .
- •4.8. Методы Монте-Карло
- •4.9. Вопросы для самопроверки
1.7. Вопросы для самопроверки
Перечислите основные этапы исследования и математического моделирования явлений реального мира, раскройте их содержание.
Охарактеризуйте взаимосвязь этапов исследования и математического моделирования явлений, укажите их связь с численными методами.
Дайте определение численных методов, охарактеризуйте аналитические и приближенные методы.
Перечислите основные этапы решения математических задач с применением ЭВМ, раскройте их содержание и взаимосвязь.
Сформулируйте и поясните основные проблемы вычислительной математики.
Сформулируйте общую постановку задачи вычисления, дайте определение корректной задачи, раскройте ее содержание.
Охарактеризуйте понятие устойчивости решения задачи.
Перечислите основные источники погрешностей и раскройте их сущность.
Дайте определение абсолютной и относительной погрешности, приведите примеры.
Дайте определение значащих и верных цифр в записи чисел, приведите примеры.
Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата сложения чисел и , где и – их погрешности.
Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата вычитания чисел и , где и – их погрешности.
Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата умножения чисел и , где и – их погрешности.
Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности результата деления чисел и , где и – их погрешности.
Запишите формулы расчета абсолютной и относительной погрешности вычисления значения функции, зависящей от одного аргумента.
Объясните принцип представления чисел с плавающей точкой в памяти ЭВМ.
Каковы особенности выполнения арифметических операций над машинными числами?
Что является вершинами и дугами графа вычислительного процесса, значения каких параметров соответствуют его вершинам и дугам?
Приведите примеры графов вычислительных процессов основных математических операций, какие параметры соответствуют их дугам?
Объясните принцип расчета общей погрешности результата выполнения арифметических операций с помощью соответствующего графа вычислительного процесса, приведите пример.
Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной
Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным (одной переменной) является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах экономических и технических наук. В общем случае нелинейное уравнение с одним неизвестным можно записать в виде:
,
(2.1)
где
– некоторая непрерывная функция
аргумента
,
имеющая ограниченную или неограниченную
область определения.
Всякое число
,
обращающее функцию
в ноль,
называется корнем уравнения (2.1). Как
правило, при решении научных и инженерных
задач функция
содержит ряд параметров и исследователя
интересует поведение решений уравнения
(изменение значений его корней) в
зависимости от изменения параметров
,
.
В таких случаях, не нарушая общности
задачи, можно поменять местами неизвестное
и любой из параметров
,
то есть решать уравнение относительно
другой неизвестной величины.
Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на алгебраические и трансцендентные (далее в тексте данные виды уравнений обобщены понятием нелинейных уравнений).
Уравнение (2.1)
называется алгебраическим, если функция
является
алгебраической функцией
.
Алгебраическое уравнение всегда может
быть представлено в канонической форме:
,
где
– коэффициенты
уравнения, а максимальный показатель
степени
– степень алгебраического уравнения.
Всякий многочлен
степени
имеет
корней, действительных или комплексных.
Комплексным называется число
,
где
и
– вещественные числа, а
– мнимая единица,
.
Если функция
не является
алгебраической, то уравнение (2.1)
называется трансцендентным, причем в
зависимости от вида
оно называется тригонометрическим,
логарифмическим, показательным. Например,
,
,
.
В некоторых случаях решение трансцендентных
уравнений можно свести к решению
алгебраических уравнений. Заметим, что
уравнения
и
называются равносильными (эквивалентными),
если множества их решений совпадают.
Методы решения нелинейных уравнений подразделяются на прямые (аналитические, точные) и итерационные (численные). Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по данной формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Даже для алгебраического уравнения выше четвертой степени с целыми или вещественными коэффициентами не удается получить аналитическое решение в радикалах (в виде формулы с конечным числом арифметических действий). В таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с некоторой заданной точностью. К таким случаям следует отнести также те, в которых формулы для получения точного решения существуют, но столь громоздки, что использование приближенных методов оказывается предпочтительным (например, решение алгебраических уравнений третьей, четвертой и последующих степеней).
При применении
численных методов задача решения
нелинейного уравнения разбивается на
два этапа: локализация (отделение)
корней, то есть нахождение таких отрезков
на оси
(в области определения функции), в
пределах которых содержится единственный
корень, и уточнение корней, то есть
вычисление приближенных значений корней
с заданной точностью. Фактически решить
нелинейное уравнение (2.1) означает:
установить, имеет ли оно корни, определить
число корней, установить отрезки
локализации корней и найти значения
корней с заданной точностью.