4.7. Вычисление кратных интегралов

Для вычисления кратных интегралов вида также используются численные методы. В рамках данного учебно-методического пособия ограничимся рассмотрением двойных интегралов . Будем рассматривать неотрицательную непрерывную функцию , заданную на квадрируемом (имеющем площадь, ограниченном) множестве (области интегрирования) плоскости . Определим разбиение множества как его представление в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, . Можно считать, что разбиение области на части , , определяется выбором геометрических фигур, которыми представлены , .

В случае интегрирования функции рассматривались длины частей разбиения отрезка : , , , . В случае интегрирования функции обобщением понятия длины будет площадь части области .

В каждой части , , произвольным образом выберем точку , имеющую координаты . Обозначим , , через . Составим двумерную интегральную сумму . Очевидно, что каждое слагаемое полученной суммы соответствует объему тела с основаниями и высотой .

В разд. 4.1 было показано, что простая (одномерная) интегральная сумма в случае интегрирования функции на отрезке представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников c основаниями, соответствующими длинам частей разбиения отрезка , и с высотами, равными значениям функции в точках , выбранных на основаниях.

Аналогично, двухмерная интегральная сумма численно равна объему ступенчатого тела, составленного из вертикальных столбиков, имеющих части , , области своими основаниями, а значения функции в некоторой принадлежащей им точке равными высотам.

Очевидно, что для заданной области и непрерывной функции можно составить не одну, а бесконечное множество интегральных сумм, потому что область можно разбить на части , , различными способами, а также по-разному выбрать в них точки , . В результате численная величина интегральной суммы зависит от способа разбиения области и от выбора внутренних точек в ее частях , .

Введем понятие диаметра частей – , значение которого определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества . В общем случае диаметром плоской фигуры называется наибольшая из хорд данной фигуры. Будем считать, что область ограничена контуром . Предположим, что части , , изменяются и начинают бесконечно уменьшаться (не только в смысле величины их площади, но и в смысле значений их диаметров), так что даже самый большой из их диаметров бесконечно уменьшается. Это означает, что части , , становятся все более малыми и так как они должны заполнять постоянную площадь внутри контура , то их число должно бесконечно увеличиваться. С дугой стороны, непрерывная функция является ограниченной и для всех точек справедливо неравенство:

,

где – постоянная величина. Отсюда следует, что общий член двухмерной интегральной суммы имеет абсолютную величину, меньшую чем и, значит, бесконечно уменьшается.

Таким образом, когда наибольший из диаметров частей , , бесконечно уменьшается, двухмерная интегральная сумма становится суммой бесконечно увеличивающегося числа слагаемых с бесконечно уменьшающимися значениями. В этих условиях двухмерная интегральная сумма стремится к определенному пределу, всегда одному и тому же, какую бы форму не имели бесконечно уменьшающиеся части , области , и каким бы образом ни выбирались в них точки , .

В рамках настоящего учебно-методического пособия доказательство данного важного предположения не приводится, однако его можно найти в более подробных курсах, посвященных интегральному исчислению.

Предел двухмерной интегральной суммы называется двойным (определенным) интегралом и обозначается следующим образом:

. (*)

Если областью интегрирования является прямоугольник ( , ) со сторонами, параллельными осям координат, то для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из рассмотренных в данной главе методов. Например, применение формулы средних прямоугольников при постоянном шаге интегрирования дает следующий результат

,

где и – шаги для отрезков интегрирования на и соответственно по и , а и – средние точки отрезков интегрирования, рис. 4.12.

Рис. 4.12. Вычисление интеграла по прямоугольной области интегрирования.

Заметим, что с повышением кратности интегралов резко возрастает объем вычислений и рассмотренный подход становится неэффективным. Например, если мы разбиваем интервал изменения каждой переменной всего на десять частей, то для вычисления тройного интеграла нам потребуется вычислить сумму тысячи слагаемых, а при вычислении десятикратного интеграла, потребуется сумма, количество слагаемых в которой определяется числом . Вычисление такой суммы затруднительно даже на самых быстродействующих современных компьютерах. В этом случае применяют другие методы численного интегрирования, среди которых особое место занимает метод статистических испытаний (Монте-Карло), разд. 4.8.

Остановимся на общей идее получения формул вычисления двойных интегралов, которая заключается в их приведении к повторным интегралам и последовательном применении формул методов Ньютона-Котеса, например, формулы Симпсона. Пусть требуется вычислить двойной интеграл (*) по прямоугольнику со сторонами, параллельными координатным осям. Разобьем прямоугольник на четыре равных прямоугольника средними линиями и обозначим стороны данных меньших прямоугольников соответственно через и . Значения функции , вычисленные в узловых точках, обозначим соответственно через , , , , и т.д. Результат разбиения прямоугольной области интегрирования представлен на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Разбиение прямоугольной области интегрирования.

Тогда двойной интеграл (*) можно представить в виде

или

, где . (4.13)

К каждому из полученных интегралов, в свою очередь, можно применить формулу Симпсона (4.8). Из (4.13) получим

. (4.14)

С другой стороны

(4.15)

Подставив (4.15) в (4.14), получаем, что исходный интеграл (*) может быть вычислен по формуле

. (4.16)

Таким образом, остается вычислить значения функции в узлах, номера которых отмечены в кружках на рис. 4.13.

Рассмотрим пример. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Принимая и , вычислим значения функции . Результаты приведенны в табл. 4.1.

Таблица 4.1.