3.2.3. Полином Ньютона

Рассмотрим регулярную интерполяционную сетку с равноотстоящими узлами , , где – шаг интерполяции. Интерполянт будем искать в следующем виде:

. (3.14)

Составим таблицу конечных разностей функции (табл. 3.1), приняв обозначения: , , …, .

Конечной разностью первого порядка называют разность между двумя соседними значениями функции в узлах интерполяции. Конечной разностью второго порядка называют разность между двумя соседними конечными разностями первого порядка. В общем случае конечной разностью порядка (для ) называют разность между двумя соседними конечными разностями порядка .

Таблица 3.1.

Конечные разности функции .

				…
…	…	…	…	… … … … … … … …

Заметим, что для любого многочлена степени все конечные разности равны между собой, а конечная разность . Значение соответствует максимальному показателю степени интерполяционного полинома Ньютона. Можно показать, что для того чтобы выполнялись условия интерполяции , необходимо и достаточно, чтобы , или

откуда нетрудно получить формулы для вычисления коэффициентов , :

. (3.15)

Подставив (3.15) в (3.14) получим

. (3.16)

Рассмотрим пример. Пусть для известного заранее аналитического вида функции требуется построить таблицу конечных разностей и в соответствии с ней восстановить аналитический вид функции.

Решение. Пусть , , а .

0 1 2 3 4 5	–1 2 13 44 107 214	3 11 31 63 107	8 20 32 44	12 12 12

Заметим, что конечные разности равны между собой, поэтому максимальный показатель степени искомого многочлена равен 3.

В соответствии с (3.15) получим: . Подставив полученные значения в (3.16), получим:

Полученный результат позволяет утверждать, что если бы аналитический вид рассматриваемой в данном примере функции был бы не известен, но была бы задана соответствующая таблица конечных разностей, то интерполяционная формула Ньютона позволила бы восстановить аналитический вид функции.

Выражение (3.16) является первой интерполяционной формулой Ньютона, которая при ручных вычислениях применяется несколько в ином виде. Положим , то есть , тогда:

,

,

…

.

Подставляя данные выражения в (3.16), получаем:

.

Данная формула применяется в начале отрезка интерполирования, когда значение мало по абсолютной величине. Погрешность полученной интерполяционной формулы может быть вычислена по формуле:

, .

Погрешность можно оценить приближенно по следующей формуле:

.

Интерполяционная формула Ньютона представляет собой один из способов составления интерполяционного многочлена, но используется только для регулярных интерполяционных сеток. Она полезна, поскольку число используемых узлов может быть легко увеличено или уменьшено без необходимоти повторного вычисления остальных коэффициентов полинома в формуле Ньютона.

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, используется вторая интерполяционная формула Ньютона, которая получается, если искать интерполяционный полином в виде:

. (*)

Коэффициенты полинома находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах интерполяции:

.

Подставив полученное выражение в формулу полинома (*) и перейдя к переменной , получим окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона, используемой при ручных вычислениях:

.

Погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона можно приближенно оценить следующим образом:

.