ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

А.С. Зуев, А.П. Иванова

Численные методы

Учебно-методическое пособие

по дисциплине «Численные методы»

для специальности 08.08.01 «Прикладная информатика в экономике»

Москва 2009

УДК 519.6

Рецензент:

к.ф.–м.н., доцент кафедры «Вычислительная математика»

Московского государственного университета

путей сообщения (МИИТ)

Логинова Н.Б.

Зуев А.С., Иванова А.П. Численные методы / под ред. д.т.н., проф. Сигала И.Х. – М.: МГУПИ, 2009. – 162 с.

АННОТАЦИЯ

В данном учебно-методическом пособии представлен теоретический материал и приведены примеры решения задач по дисциплине «Численные методы» для студентов экономических специальностей, в частности, специальности 08.08.01 «Прикладная информатика в экономике».

В пособии представлены основные численные методы, наиболее часто применяемые при решении различных экономических и технических задач математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, предусмотренные Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и программой курса для экономических специальностей.

Данное пособие должно предоставить читателю основные понятия о численном решении различных задач вычислительной математики и не претендует на полноту изложения всего арсенала существующих численных методов. В пособии отсутствуют многие формальные доказательства, например, сходимости вычислительных процессов, а также многие обоснования и выводы формул, которые можно найти в рекомендуемой литературе, список которой приведен в конце пособия. Краткость изложения рассматриваемых методов достигнута, как представляется авторам, не в ущерб его строгости и точности с математической точки зрения.

Данное учебно-методическое пособие выпускается малым тиражом с целью апробации доступности изложения и возможности использования представленного в нем материала для подготовки студентов как очной и заочной, так и дистанционной форм обучения.

Содержание

Предисловие 5

Глава 1. Численные методы и особенности использования эвм

в решении математических задач 6

1.1. Математическое моделирование и численные методы 6

1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления 12

1.3. Структура погрешности решения задач вычисления 13

1.4. Абсолютная и относительная погрешности 16

1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в

памяти ЭВМ 18

1.6. Графы вычислительных процессов 20

1.7. Вопросы для самопроверки 22

Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 23

2.1. Локализация корней 25

2.2. Уточнение корней 28

2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии) 29

2.2.2. Метод хорд 33

2.2.3. Метод Ньютона (касательных) 34

2.2.4. Модифицированный метод Ньютона 38

2.2.5. Метод секущих 39

2.2.6. Метод итераций 40

2.2.7. Комбинированный метод хорд и касательных 44

2.3. Вопросы для самопроверки 46

Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций 47

3.1. Методы приближения функций 48

3.1.1. Формула Тейлора, ряд Тейлора 49

3.1.2. Полиномы Чебышева 50

3.1.3. Экономизация степенных рядов 53

3.1.4. Приближения с помощью дробно-рациональных функций 54

3.2. Методы интерполяции функций 55

3.2.1. Прямой метод 55

3.2.2. Полином Лагранжа 57

3.2.3. Полином Ньютона 59

3.3. Методы аппроксимации функций 63

3.3.1. Среднеквадратичная аппроксимация 63

3.3.2. Полиномиальная аппроксимация 73

3.4. Вопросы для самопроверки 74

Глава 4. Численное интегрирование 75

4.1. Понятие определенного интеграла 75

4.2. Классификация методов численного интегрирования 77

4.3. Методы Ньютона-Котеса 81

4.3.1. Методы прямоугольников 81

4.3.2. Метод трапеций 84

4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол) 85

4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса 88

4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью 91

4.6. Особые случаи численного интегрирования 92

4.7. Вычисление кратных интегралов 94

4.8. Методы Монте-Карло 101

4.9 Вопросы для самопроверки 105

Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 108

5.1. Общие вопросы теории дифференциальных уравнений 110

5.2. Аналитические методы. Интегрирование с помощью рядов 115

5.3. Численные методы. Метод Эйлера 128

5.4. О точности методов численного интегрирования дифференциальных уравнений 134

5.5. Дифференциальные уравнения в экономической динамике 135

5.6. Вопросы для самопроверки 138

Глава 6. Численное дифференцирование 139

6.1. Дифференцирование функций, заданных аналитически 141

6.2. Дифференцирование функций, заданных таблично 146

6.3. Вычисление частных производных 147

6.4. Приложение производной в экономической теории 148

6.5. Вопросы для самопроверки 149

Глава 7. Методы численной оптимизации 150

7.1. Метод золотого сечения 152

7.2. Метод деформируемого многогранника 154

7.3. Градиентные методы 156

7.4. Метод Ньютона 158

7.5. Вопросы для самопроверки 160

Заключение 161

Литература 162

Предисловие

Одной из характерных особенностей научно-технического прогресса является широкое применение численных математических методов в профессиональной деятельности современных специалистов. В связи с этим одной из важных дисциплин подготовки специалистов в областях экономики становится дисциплина «Численные методы», которая развивает идеи численного решения задач, возникающих в процессе компьютерного математического моделирования явлений, относящихся к различным предметным сферам.

Современные численные методы в совокупности с автоматизацией их применения на персональных компьютерах превращаются в эффективный инструмент решения задач научного, технического и экономического характера. Целью обучения численным методам является формирование у студентов систематизированных понятий о приближенных методах решения прикладных задач, а также подготовка студентов к разработке и применению на персональных компьютерах вычислительных алгоритмов решения математических задач.

С точки зрения авторов, современный курс «Численных методов» должен сочетать в себе обязательное изучение теории данных методов и приемов их практической реализации на ЭВМ как путем написания программ, так и в результате использования современных математических пакетов и пакетов прикладных программ. Такой подход к преподаванию дисциплины позволит сформировать у студентов понимание математического содержания конкретного метода (границ его применимости, погрешности и т.д.) и умение использовать современные программные средства. В предлагаемом подходе к преподаванию курса «Численные методы» весьма важным оказывается выбор базового программного средства.

Одной из задач, преследуемых авторами при изложении материала, является укрепление и развитие у читателя алгоритмического мышления, так как результат решения любой задачи – это не только то, что было получено в качестве ответа, но и то, как данный ответ был получен, то есть сам алгоритм решения. Требуется также отметить, что современные персональные компьютеры обладают очень большими вычислительными ресурсами и излагаемый в пособии материал не акцентирован на возможностях их экономии. Однако следует понимать, что задачей дисциплины «Численные методы» является реализация вычислительных алгоритмов, эффективных в использовании вычислительных ресурсов ЭВМ.

Естественно, что читатель, изучивший настоящее учебно-методическое пособие, не может считаться специалистом по численному анализу, но он будет располагать знаниями, необходимыми для практического решения типичных задач и позволяющими самостоятельно реализовать дальнейшее более глубокое изучение данной дисциплины.