4.2. Постановка задачи оптимизации

При производстве хлебопекарных дрожжей, в пивоварении и в ходе других биотехнологических процессов часто возникает задача выбора оптимальных условий культивирования, протекание которого зависит от большого числа факторов.

Оптимальность протекания процесса при выбранном соотношении условий (факторов внешней среды) оценивается параметрами, или категориями, оптимизации. Важным вопросом экспериментального исследования является выбор критерия оптимизации. Критерии оптимизации включают экономические показатели и должны иметь численное выражение. Если ставится задача оптимизировать какую-либо часть технологического процесса, то за частный критерий оптимизации принимают технологический параметр.

В биотехнологических процессах таким частным критерием оптимизации может быть: выход биомассы, удельный съем продукта, себестоимость продукта и т. д.

Задачей исследования является нахождение путем проведения некоторого количества экспериментов при различных сочетаниях уровней факторов максимальной и минимальной величин выбранного критерия (параметра) оптимизации.

4.3. Общие приемы поиска оптимального значения критерия оптимизации

В общем виде любой процесс в системе может быть описан некоторой зависимостью выхода процесса y от факторов x₁, x₂, …, x_n, действующих в системе. Уровень этих факторов в каждый момент определяет состояние системы. Поэтому изучение любой системы можно представить как нахождение зависимости вида

y = f (x₁, x₂, …, x_n). (4.1)

Уравнение (4.1) описывает некоторую гиперповерхность в многомерном пространстве, следовательно, изучение многофакторной системы можно представить как исследование формы этой поверхности, называемой поверхностью отклика. В простейших случаях, когда имеют дело с одним или несколькими факторами, поверхность отклика достаточно легко представить наглядно. Так, зависимость y = f (x) представляет собой кривую на плоскости; зависимость y = f (x₁, x₂) изображается поверхностью отклика в трехмерном пространстве. Обычно поверхность отклика в трехмерном пространстве, аналогично горизонталям на топографических картах, изображают в виде ее проекции на плоскость x₁0x₂. Если же число факторов х больше трех, то поверхность отклика лишена наглядного восприятия.

Для функции y = f (x_1, x_2, x₃, …, x_n) используют уравнение, представляющее собой разложение этой функции в степенной ряд:

y = ₀ +_i x_i + _i j x_ix_j + _iij xx_j +…, (4.2)

где x_ij – переменные факторы; _i, _ij – коэффициенты регрессии при соответствующих переменных, значения которых определяют форму поверхности отклика в изучаемой области.

Уравнение (4.2) называют уравнением регрессии.

Наличие в уравнении членов x_i, x_j и x и x свидетельствует о том, что данная зависимость является криволинейной.

На практике в целях упрощения расчетов и сокращения числа экспериментов, необходимых для нахождения оптимальной величины функции (экстремума), стремятся ограничиться линейной моделью, проводя эксперименты в узкой области поверхности отклика. При этом уравнение регрессии принимает вид

y = b₀ + _ix_j = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ +…+ b_nx_n. (4.3)

При необходимости, когда нельзя ограничиться линейным приближением, следует учитывать члены второй степени:

y = b₀ + _ix_j + _iix. (4.4)

Следует иметь в виду, что чем больше в уравнении регрессии членов степеней выше единицы, а следовательно, и коэффициентов регрессии, тем больше надо провести опытов для нахождения этих коэффициентов.