Дәріс №2. Дискретті математиканың негізі

Мақсаты: Дискретті математика негіздері туралы түсініктер беру. Логика алгебрасының негізгі заңдылықтарын, ақиқат кестесін толтыруды меңгеру.

Негізгі ұғымдар: Функция, қатынас, жиын, графтар, бағытталған графтар, бағытталмаған графтар, ағаштар, логика, логикалық байланыстар, ақиқаттық кестелері.

Жоспар:

1 Функция, қатынас және жиын.

2 Логика негіздері, айтылымдар логикасы, логикалық байланыстар,

ақиқаттық кестелері.

3 Графтар және ағаштар.

1 Функция, қатынас және жиын

Жиын ұғымы математиканың алғашқы ұғымдары қатарына жатады. Жиын деп обектілердің (заттардың) біріңғай тұтас болып қарастыратын кез келген жиынтығы аталады. «Жиын» сөзі математикалық термин: ол күнделікті кездесіп жүрген жинақ, коллекция, жиынтық, әулет және т.с. сөздердің жалпылама баламасы ретінде қолданылады.

Қандайда болмасын жиынды құрастырушы объектілер (заттар) жиынның элементтері деп аталады. Жиындар А,В, С,Е, әріптері арқылы бөлінеді. Мысалы кесіндінің нүктелер жиыны, қайсыбір теңдеудің шешімдері жиыны, аудиториядағы студенттер жиыны және т.б. туралы айтуға болады. Мұндағы кесіндінің нүктелері, теңдеудің шешімдері, студенттер жиынның элементтері болып есептеледі.

А ерікті жиын, ал а-қандай да бір объект болсын. Егер а, А жиынының элементі болса, онда а, Ажиынына тиісті (А-да жатады) дейді де бұны , түрінде жазады. Егер с, А жиынында жатпаса, онда бұны түрінде жазады. Бір де бір элементі болмайтын жиын бос жиын деп аталады да 

Сурет 3.1 символымен белгіленеді.

Математикада қарастырылатын негізгі жиындар:

• N = { 1,2,3,…} –натуралды сандар жиыны;

• Z = { …, -2,-1,0,1,2,…} – бүтін сандар жиыны;

• Q –рационал сандар жиыны;

• R –нақты сандар жиыны.

Жиындарға қолданылатын операциялар (Эйлер – Венн диаграммасы):

Сурет 3.2 Эйлер – Венн диаграммасы

1. Жиындардың бірігуі. А мен В кез келген жиындар болсын. А немесе В жиындарының кемінде біруінде жататын элементтерден және тек солардан ғана тұратын жиын А мен В жиындарының бірігуі деп айтылады да өрнегімен белгіленеді. (Сур.3.2 б))

2. Жиындарының қиылысуы. А жиынында да, В жиынында да жататын элементтерден және тек солардан ғана тұратын жиын А мен В жиындарының қиылысуы деп аталады да өрнегімен белгіленеді. (Сур.3.2 в))

3. Жиындардың айырымы. А жиынының В жиынында жатпайтындай элементтерінен тұратын жиын А жиыны мен В жиынының айырымы деп аталады да, ол А\В өрнегімен белгіленеді. (Эйлер – Венн диаграммасында жиындарға қолданылатын операциялар штрихталып көрсетілген). (Сур.3.2 г))

4. Жиындардың қосындысы. А жиынының В жиынында жататындай элементтерінен тұратын жиын А жиыны мен В жиынының қосындысы деп аталады да, ол А+В өрнегімен белгіленеді. (Сур.3.2 д))

5. Жиындардың инверциясы (Сур.3.2 е))

Мысалы, 1) А={1;2;3}, В={2;3;4;5} жиындары берілсін. Сонда

, , А\В={1}.

2) А={0,1,2}, В={-1,2,3} жиындары берілсін.

;

.

Функция анықтамасы. Кез келген Х пен У жиындары берілсін. Әрбір Х жиынындағы х-тің әрбір мәніне У жиынының нақты бір у мәнін сәйкес қоятын ереже функция деп аталады.

Функция у= f(х), у=φ(х), у=g(х) және т.с.с. белгіленеді, мұндағы х-тәуелсіз айнымалы немесе функция аргументі; у-тәуелді айнымалы немесе функция.

Функция тиянақты мән қабылдайтын тәуелсіз айнымалының нақты мәндер жиынын функцияның анықталу облысы (D), ал анықталу облысынан алынған әрбір тәуелсіз айнымалыға сәйкес табылған функцияның мәндерін оның мәндер жиыны (Е) деп атайды.

Сонда анықтамадан F функциясы үшін Х жиыны – функцияның анықталу облысы, У жиыны – функцияның мәндер жиыны деп аталады: Х=D(f); Y=E(f).

Функцияның жоғарыда берілген анықтамасына сәйкес төмендегі үш жағдайды анықтай білу керек:

1. D(f) функцияның анықталу облысы;

2. Х пен у мәндер арасындағы ереже немесе заңдылық;

3. E(f) функциясының мәндер жиыны.