3.1.2. Оценивание параметров структурной модели
Параметры структурной модели оценивают следующими способами:
косвенный метод наименьших квадратов;
двухшаговый метод наименьших квадратов;
трехшаговый метод наименьших квадратов;
метод максимального правдоподобия с полной информацией;
метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.
3.1.2.1. Косвенный метод наименьших квадратов (кмнк)
КМНК используют если структурная модель точно идентифицируема.
КМНК включает три шага:
Преобразование структурной модели в приведенную форму модели, и выражение коэффициентов приведенной формы через структурные переменные.
Оценивание коэффициентов каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК.
Преобразование коэффициентов приведенной формы модели в коэффициенты структурной модели, используя соотношения определенные в первом шаге.
Применение КМНК рассмотрим на примерах.
Пример 23. Имеем точно идентифицированную структурную форму модели спроса и предложения.
(196)
Где
1. Определяемыми внутри модели переменными являются эндогенные взаимозависимые переменные:
– цена
– количество
товара.
2. Предопределенными переменными являются:
– доход – экзогенная
переменная– цена в предыдущий период времени – лаговая эндогенная переменная
3.
и
– структурные параметры модели.
4.
и
– случайные переменные.
За ряд лет имеются данные таблица 47.
Таблица 47
|
|
|
|
|
1 |
102 |
8 |
11 |
10 |
2 |
128 |
6 |
13 |
13 |
3 |
98 |
7 |
12 |
11 |
4 |
117 |
9 |
14 |
13 |
5 |
122 |
8 |
17 |
13 |
6 |
119 |
9 |
18 |
12 |
Итого |
686 |
47 |
85 |
72 |
1 шаг.
Составим приведенную форму модели, не исключая свободный член уравнения, то есть расчет будем вести не по отклонениям от средних, а по фактическим величинам:
(197)
2 шаг.
Оценим коэффициенты каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК.
Для первого
уравнения приведенной формы модели
.
Расчеты проведем в Microsoft
Excel.
Первое. В новой книге Microsoft Excel внесем исходные данные (рис 10).
Рисунок 10.
Далее нажимаем кнопку Сервис и в открывшийся панели нажимаем кнопку Анализ данных (рис 11):
Рисунок 11.
В панели Анализ данных нажимаем Регрессия:
В панели регрессия вводим входной интервал (столбик ), выделяя столбик, содержащий данные результативного признака, и входной интервал , выделяя столбики, содержащий данные факторов (столбики и ). Ответ можно поместить на новом рабочем листе, в новой рабочей книге, или на листе, содержащем условия выбирая выходной интервал, для чего указываем графа-клетку начала размещения ответа (рис 12).
Рисунок 12.
Нажимаем ОК. Появится таблица, содержащая результаты регрессионного анализа (рис 13).
Рисунок 13.
Параметр
в данной таблице находится на пересечении
столбика «коэффициенты»
и строки «Y-пересечение»,
параметр
-
находится на пересечении столбика
«коэффициенты»
и строки «переменная
Х1»,
-
на пересечении столбика «коэффициенты»
и строки «переменная
Х2».
Первое уравнение приведенной формы примет вид
Параметры второго
уравнения приведенной модели
рассчитаем, также используя пакет
Microsoft
Excel.
Второе уравнение приведенной модели примет вид
Приведенная форма модели примет вид:
3 шаг.
Преобразуем параметры приведенной формы модели.
Для того чтобы
получить 1-е уравнение структурной формы
модели (зависимость
от
и
)
из 2-го уравнения приведенной формы
выразим
(ошибку
на данном этапе расчетов проигнорируем).
Полученное выражение подставим в 1-е уравнение приведенной формы
Получили первое уравнение структурной модели
где:
,
,
Для того чтобы
определить 2-е уравнение структурной
формы модели (зависимость
от
и
)
из 2-го уравнения приведенной формы
выразим
.
Полученное выражение подставим в 1-е уравнение приведенной формы
Получили второе уравнение структурной модели
где:
,
,
Структурная форма модели будет иметь вид
Классический МНК даст другие, смещенные, оценки параметров модели.
Пример 24. Имеем простейшую точно идентифицируемую структурную модель:
(198)
В данной модели
имеем две эндогенные переменные
и две экзогенные
.
Имеются следующие данные таблица 48.
Таблица 48
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
21 |
-3,1250 |
24 |
-3,4375 |
0,1 |
-0,2938 |
2,05 |
-0,1406 |
2 |
22 |
-2,1250 |
23 |
-4,4375 |
0,2 |
-0,1938 |
2,01 |
-0,1806 |
3 |
21 |
-3,1250 |
22 |
-5,4375 |
0,1 |
-0,2938 |
2,06 |
-0,1306 |
4 |
23 |
-1,1250 |
24 |
-3,4375 |
0,3 |
-0,0938 |
2,08 |
-0,1106 |
5 |
24 |
-0,1250 |
29 |
1,5625 |
0,1 |
-0,2938 |
2,09 |
-0,1006 |
6 |
23 |
-1,1250 |
25 |
-2,4375 |
0,2 |
-0,1938 |
2,06 |
-0,1306 |
7 |
25 |
0,8750 |
27 |
-0,4375 |
0,4 |
0,0062 |
2,12 |
-0,0706 |
8 |
21 |
-3,1250 |
28 |
0,5625 |
0,6 |
0,2062 |
2,11 |
-0,0806 |
9 |
23 |
-1,1250 |
26 |
-1,4375 |
0,2 |
-0,1938 |
2,16 |
-0,0306 |
10 |
26 |
1,8750 |
28 |
0,5625 |
0,5 |
0,1062 |
2,18 |
-0,0106 |
11 |
27 |
2,8750 |
29 |
1,5625 |
0,3 |
-0,0938 |
2,15 |
-0,0406 |
12 |
24 |
-0,1250 |
30 |
2,5625 |
0,8 |
0,4062 |
2,19 |
-0,0006 |
13 |
25 |
0,8750 |
31 |
3,5625 |
0,6 |
0,2062 |
2,23 |
0,0394 |
14 |
26 |
1,8750 |
30 |
2,5625 |
0,2 |
-0,1938 |
2,25 |
0,0594 |
15 |
27 |
2,8750 |
31 |
3,5625 |
0,8 |
0,4062 |
2,29 |
0,0994 |
16 |
28 |
3,8750 |
32 |
4,5625 |
0,9 |
0,5062 |
3,02 |
0,8294 |
Итого |
386 |
|
439 |
|
6,3000 |
|
35,05 |
0 |
В среднем |
24,1250 |
|
27,4375 |
|
0,3938 |
|
2,1906 |
|
Все переменные выражены в отклонениях от среднего уровня, то есть как , как , поэтому свободный член в уравнениях системы отсутствует, т.е.
(199)
1 шаг.
Преобразуем структурную форму модели в приведенную:
(200)
2 шаг.
Оценим коэффициенты каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК.
Для первого уравнения приведенной формы модели
МНК даст систему:
(201)
Рассчитаем все возможные значения в таблице 49 и подставим их в систему.
Таблица 49
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-3,1250 |
-3,4375 |
-0,2938 |
-0,1406 |
0,0863 |
0,0413 |
0,9181 |
0,0198 |
0,4394 |
2 |
-2,1250 |
-4,4375 |
-0,1938 |
-0,1806 |
0,0376 |
0,0350 |
0,4118 |
0,0326 |
0,3838 |
3 |
-3,1250 |
-5,4375 |
-0,2938 |
-0,1306 |
0,0863 |
0,0384 |
0,9181 |
0,0171 |
0,4081 |
4 |
-1,1250 |
-3,4375 |
-0,0938 |
-0,1106 |
0,0088 |
0,0104 |
0,1055 |
0,0122 |
0,1244 |
5 |
-0,1250 |
1,5625 |
-0,2938 |
-0,1006 |
0,0863 |
0,0296 |
0,0367 |
0,0101 |
0,0126 |
6 |
-1,1250 |
-2,4375 |
-0,1938 |
-0,1306 |
0,0376 |
0,0253 |
0,2180 |
0,0171 |
0,1469 |
7 |
0,8750 |
-0,4375 |
0,0063 |
-0,0706 |
0,0000 |
-0,0004 |
0,0055 |
0,0050 |
-0,0618 |
8 |
-3,1250 |
0,5625 |
0,2063 |
-0,0806 |
0,0426 |
-0,0166 |
-0,6447 |
0,0065 |
0,2519 |
9 |
-1,1250 |
-1,4375 |
-0,1938 |
-0,0306 |
0,0376 |
0,0059 |
0,2180 |
0,0009 |
0,0344 |
10 |
1,8750 |
0,5625 |
0,1063 |
-0,0106 |
0,0113 |
-0,0011 |
0,1993 |
0,0001 |
-0,0199 |
11 |
2,8750 |
1,5625 |
-0,0938 |
-0,0406 |
0,0088 |
0,0038 |
-0,2697 |
0,0016 |
-0,1167 |
12 |
-0,1250 |
2,5625 |
0,4063 |
-0,0006 |
0,1651 |
-0,0002 |
-0,0508 |
0,0000 |
0,0001 |
13 |
0,8750 |
3,5625 |
0,2063 |
0,0394 |
0,0426 |
0,0081 |
0,1805 |
0,0016 |
0,0345 |
14 |
1,8750 |
2,5625 |
-0,1938 |
0,0594 |
0,0376 |
-0,0115 |
-0,3634 |
0,0035 |
0,1114 |
15 |
2,8750 |
3,5625 |
0,4063 |
0,0994 |
0,1651 |
0,0404 |
1,1681 |
0,0099 |
0,2858 |
16 |
3,8750 |
4,5625 |
0,5063 |
0,8294 |
0,2563 |
0,4199 |
1,9619 |
0,6879 |
3,2139 |
Итого |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,1097 |
0,6281 |
5,0132 |
0,8259 |
5,2488 |
Разделим первое уравнение на 1,1097, а второе на 0,6281, получим:
из второго уравнения вычтем первое
Отсюда
Подставим значение
в первое уравнение системы и найдем
значение
Первое уравнение приведенной формы модели составит
Для второго уравнения приведенной формы модели
МНК даст систему:
(202)
Рассчитаем все возможные значения в таблице 50 и подставим в систему.
Таблица 50
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-3,1250 |
-3,4375 |
-0,2938 |
-0,1406 |
0,0863 |
0,0413 |
1,0099 |
0,0198 |
0,4833 |
2 |
-2,1250 |
-4,4375 |
-0,1938 |
-0,1806 |
0,0376 |
0,0350 |
0,8600 |
0,0326 |
0,8014 |
3 |
-3,1250 |
-5,4375 |
-0,2938 |
-0,1306 |
0,0863 |
0,0384 |
1,5975 |
0,0171 |
0,7101 |
4 |
-1,1250 |
-3,4375 |
-0,0938 |
-0,1106 |
0,0088 |
0,0104 |
0,3224 |
0,0122 |
0,3802 |
5 |
-0,1250 |
1,5625 |
-0,2938 |
-0,1006 |
0,0863 |
0,0296 |
-0,4591 |
0,0101 |
-0,1572 |
6 |
-1,1250 |
-2,4375 |
-0,1938 |
-0,1306 |
0,0376 |
0,0253 |
0,4724 |
0,0171 |
0,3183 |
7 |
0,8750 |
-0,4375 |
0,0063 |
-0,0706 |
0,0000 |
-0,0004 |
-0,0028 |
0,0050 |
0,0309 |
8 |
-3,1250 |
0,5625 |
0,2063 |
-0,0806 |
0,0426 |
-0,0166 |
0,1160 |
0,0065 |
-0,0453 |
9 |
-1,1250 |
-1,4375 |
-0,1938 |
-0,0306 |
0,0376 |
0,0059 |
0,2786 |
0,0009 |
0,0440 |
10 |
1,8750 |
0,5625 |
0,1063 |
-0,0106 |
0,0113 |
-0,0011 |
0,0598 |
0,0001 |
-0,0060 |
11 |
2,8750 |
1,5625 |
-0,0938 |
-0,0406 |
0,0088 |
0,0038 |
-0,1466 |
0,0016 |
-0,0634 |
12 |
-0,1250 |
2,5625 |
0,4063 |
-0,0006 |
0,1651 |
-0,0002 |
1,0411 |
0,0000 |
-0,0015 |
13 |
0,8750 |
3,5625 |
0,2063 |
0,0394 |
0,0426 |
0,0081 |
0,7349 |
0,0016 |
0,1404 |
14 |
1,8750 |
2,5625 |
-0,1938 |
0,0594 |
0,0376 |
-0,0115 |
-0,4966 |
0,0035 |
0,1522 |
15 |
2,8750 |
3,5625 |
0,4063 |
0,0994 |
0,1651 |
0,0404 |
1,4474 |
0,0099 |
0,3541 |
16 |
3,8750 |
4,5625 |
0,5063 |
0,8294 |
0,2563 |
0,4199 |
2,3100 |
0,6879 |
3,7841 |
Итого |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,1097 |
0,6281 |
9,1452 |
0,8259 |
6,9256 |
Разделим первое уравнение на 1,1097, а второе на 0,6281
Вычтем из второго уравнение первое
Подставим значение
в первое уравнение системы и найдем
значение
Второе уравнение приведенной формы модели составит
Приведенная форма модели будет иметь вид
3 шаг.
Преобразуем параметры приведенной формы модели в параметры структурной модели
(203)
Исключим из первого уравнения
приведенной модели, для чего выразим
его из второго уравнения приведенной
модели
,
т.е.
Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной системы
Первое уравнение структурной модели примет вид
или
Исключим из второго уравнения из второго уравнения
приведенной модели, для чего выразим
его из первого уравнения приведенной
модели
,
т.е.
Подставим полученное выражение во второе уравнение приведенной системы
Второе уравнение структурной модели примет вид
или
Структурная форма модели будет иметь вид
Для расчета
свободных членов уравнения
,
перейдя тем самым, от отклонений
переменных от средних
и
,
к исходным переменным
воспользуемся готовыми формулами
Структурная модель будет иметь вид
