3.1.1. Проблема идентификации. Необходимое и достаточное условие идентификации

Рассчитав параметры приведенной модели можно определить параметры структурной модели, но лишь при условии того, что модель является идентифицируемой.

Все структурные модели могут быть:

1. идентифицируемые.

2. неидентифицируемые.

3. сверхидентифицируемые.

Идентифицируемая модель – модель, все уравнения которой точно идентифицируемы.

Идентифицированное уравнение – уравнение, оценки структурных коэффициентов которого, можно однозначно (единственным способом) определить по коэффициентам приведенной модели.

Неидентифицируемая модель – модель, в которую входит хотя бы одно неидентифицируемое уравнение.

Неидентифицируемое уравнение – уравнение, оценки структурных коэффициентов которого, невозможно определить по коэффициентам приведенной модели

Сверхидентифицируемая модель – модель, среди уравнений которой есть хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Сверхидентифицируемое уравнение – уравнение, для некоторых структурных параметров которого, можно получить более одного численного значения.

Необходимое условие идентификации уравнения модели: уравнение модели может быть идентифицируемо, если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус единица», т.е.

– уравнение точно идентифицируемо, система имеет статистическое решение.

– уравнение неидентифицируемо, система не имеет статистического решения.

– уравнение сверхидентифицируемо, система имеет статистическое решение.

где

– число предопределенных переменных в модели.

– число предопределенных переменных в данном уравнении.

– число эндогенных переменных в данном уравнении.

Данное условие является необходимым, но оно не является достаточным условием, т.е. если оно не выполняется, уравнение однозначно признается неидентифицируемым, если же оно выполняется, то это еще не значит, что уравнение точно идентифицируемо.

Например, рассмотрим три системы уравнений:

1 система: (189)

Проанализируем первое уравнение:

Число экзогенных переменных в нем , всего экзогенных переменных в системе , а число эндогенных переменных в первом уравнении , отсюда, так как, , первое уравнение системы точно идентифицируемо.

Проанализируем второе уравнение:

Число экзогенных переменных в нем , всего экзогенных переменных в системе , а число эндогенных переменных в первом уравнении , отсюда, так как, , второе уравнение системы точно идентифицируемо.

Проанализируем третье уравнение:

Число экзогенных переменных в нем , всего экзогенных переменных в системе , а число эндогенных переменных в первом уравнении , отсюда, так как, , третье уравнение системы точно идентифицируемо.

Так как, все включенные в рассмотренную систему уравнения точно идентифицируемы, система признается идентифицируемой и имеет статистическое решение.

2 система: (190)

Проанализируем первое уравнение:

Первые два уравнения в нем точно идентифицированы (см. систему 1).

Проанализируем третье уравнение:

Число экзогенных переменных в нем , всего экзогенных переменных в системе , а число эндогенных переменных в первом уравнении , отсюда, так как, , третье уравнение системы сверхидентифицируемо.

Так как, одно из уравнений системы сверхидентифицируемо, и система не содержит неидентифицируемых уравнений, все система признается сверхидентифицируемой и имеет статистическое решение.

3 система: (191)

Первые два уравнения в нем точно идентифицированы (см. систему 1).

Проанализируем третье уравнение:

Число экзогенных переменных в нем , всего экзогенных переменных в системе , а число эндогенных переменных в первом уравнении , отсюда, так как, , третье уравнение системы неидентифицируемо.

Так как, одно из уравнений системы неидентифицируемо, все система признается неидентифицируемой, т.е. система статистического решения не имеет.

Приведенное выше «счетное» условие , как уже говорилось, необходимое, но не достаточное.

Достаточное условие идентификации: уравнение будет идентифицируемо, если ранг матрицы (состоящей из коэффициентов при переменных, которые не входят в это уравнение) будет равен , где - число эндогенных переменных в модели.

Ранг матрицы – наибольший минор матрицы (наибольшая квадратная подматрица), определитель которого не равен нулю.

Например, рассмотрим приведенную систему уравнений:

(192)

1) Составим матрицу для первого уравнения системы. Так как, в первом уравнении отсутствует только одна переменная , матрица, состоящая из коэффициентов при этой переменной, имеет вид:

(193)

Ранг данной матрицы равен 1, . Ранг матрицы меньше, чем , то есть 1-е уравнение системы неидентифицируемо.

2) Составим матрицу для второго уравнения системы. В нем отсутствуют переменные – , матица имеет вид:

(194)

Ранг данной матрицы равен 2, . Ранг матрицы равен , то есть 2-е уравнение системы идентифицировано.

3) Составим матрицу для третьего уравнения. В нем отсутствуют переменные – , матица имеет вид:

(195)

Ранг данной матрицы равен 2, . Ранг матрицы равен , то есть 3-е уравнение системы также идентифицировано.

Рассматривая всю систему, можно сказать, что система неидентифицируема, так как неидентифицируемо 1-е уравнение системы.