Линеаризация показательной функции
Показательная функция
(79)
также проводят путем логарифмирования обеих частей уравнения:
(80)
Обозначив через
,
получим линейное уравнение регрессии:
(81)
МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:
(82)
Также можно использовать уравнения:
(83)
(84)
Рассчитав параметры
,
и составив линейное уравнение регрессии
необходимо провести его потенцирование,
что бы вернуться к показательной функции.
(85)
Пример 14. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать показательную функцию
Таблица 33
-
№
1
37,8
0,3
2
38,0
0,5
3
39,0
0,7
4
37,5
0,8
5
39,5
0,9
6
36,8
1,1
7
40,0
1,3
8
40,1
1,6
9
40,0
1,7
10
39,0
2,2
11
38,0
2,5
12
41,0
2,6
13
41,6
2,7
14
41,0
3,0
15
41,9
3,2
Решение. Для расчета параметров данной функции проведем ее линеаризацию, прологарифмировав обе части уравнения
Обозначив через
,
получим линейное уравнение регрессии:
МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной степенной функции дает следующую систему уравнений:
В таблице 34 рассчитаем все возможные значения:
Таблица 34
№ |
|
|
|
|
|
1 |
37,80 |
0,30 |
1,577492 |
0,473248 |
37,806262 |
2 |
38,00 |
0,50 |
1,579784 |
0,789892 |
38,032035 |
3 |
39,00 |
0,70 |
1,591065 |
1,113745 |
38,259157 |
4 |
37,50 |
0,80 |
1,574031 |
1,259225 |
38,373226 |
5 |
39,50 |
0,90 |
1,596597 |
1,436937 |
38,487635 |
6 |
36,80 |
1,10 |
1,565848 |
1,722433 |
38,717477 |
7 |
40,00 |
1,30 |
1,602060 |
2,082678 |
38,948692 |
8 |
40,10 |
1,60 |
1,603144 |
2,565031 |
39,298106 |
9 |
40,00 |
1,70 |
1,602060 |
2,723502 |
39,415272 |
10 |
39,00 |
2,20 |
1,591065 |
3,500342 |
40,006365 |
11 |
38,00 |
2,50 |
1,579784 |
3,949459 |
40,365268 |
12 |
41,00 |
2,60 |
1,612784 |
4,193238 |
40,485616 |
13 |
41,60 |
2,70 |
1,619093 |
4,371552 |
40,606323 |
14 |
41,00 |
3,00 |
1,612784 |
4,838352 |
40,970608 |
15 |
41,90 |
3,20 |
1,622214 |
5,191085 |
41,215278 |
Итого |
591,20 |
25,10 |
23,929804 |
40,210718 |
590,987319 |
В среднем |
|
1,673333 |
1,595320 |
2,680715 |
|
|
|
0,867289 |
|
|
|
Получили линеаризованное уравнение
Произведем потенцирование линейного уравнения для возврата к показательной функции.
Подставим в полученное уравнение значения фактора , рассчитаем значения .