2.4.1.8. Прогнозирование на основе парной модели регрессии. Расчет доверительных интервалов
Парные модели
регрессии
позволяют
прогнозировать значение результативного
признака
как точечный прогноз
путем
подстановки в уравнение регрессии
соответствующего конкретного прогнозного
значения
.
Естественно, что
полученное точечное значение
рассчитанное для
не может быть на 100% точным, поэтому
необходим дополнительный расчет
стандартной
ошибки
для функции
регрессии
и для индивидуальных
значений зависимой переменной,
и построение соответствующих интервалов
которые с заданной вероятностью
(
-
уровень значимости) накрывают неизвестное
значение
.
Также доверительные интервалы
рассчитываются для параметров уравнения
регрессии
и коэффициента
(индекса) корреляции
.
Расчет доверительного интервала для функции регрессии
Доверительный
интервал для уравнения
регрессии
имеет вид:
(103)
где:
-
предельная ошибка
(104)
- стандартная
ошибка
(105)
-
остаточное стандартное отклонение на
одну степень свободы
(106)
-
табличное значение критерия Стьюдента
для числа степеней свободы
и определенного уровня значимости
.
Необходимо помнить,
что прогноз значений результативного
признака
по уравнению регрессии тем точнее, чем
значение фактора
ближе к
.
Если же значение
выходит за рамки обследованных значений
результаты прогноза ухудшаются тем
больше, чем больше разница между
и
.
Расчет доверительного интервала для индивидуальных значений результативного признака
При построение
доверительного интервала для индивидуальных
значений результативного признака
,
в отличие от доверительного интервала
для функции регрессии необходимо
учитывать вариацию вокруг линии
регрессии. В результате стандартная
ошибка индивидуальных значений
при
равна
(107)
Доверительный интервал примет вид:
(108)
где
-
предельная ошибка
(109)
Точность интервала рассчитывают как отношение максимального значения интервала к минимальному значению
(110)
Чем меньше отношение, тем меньше интервал, то есть он более точен.
Расчет доверительных интервалов для параметров уравнения регрессии
Для свободного члена уравнения регрессии доверительный интервал имеет вид:
(111)
Где
-
предельная ошибка
(112)
- стандартная
ошибка
(55)
Для коэффициента регрессии доверительный интервал имеет вид:
(113)
где
-
предельная ошибка
(114)
-
стандартная ошибка
(52)
Пример 20. По данным примера 7 и примера 9, необходимо:
1. провести
прогнозирование на основе парной
линейной модели регрессии
для индивидуального значения
результативного признака
при
.
2. рассчитать доверительные интервалы для
а) функции регрессии
б) индивидуального прогнозного значения , при
в) свободно члена уравнения регрессии
г) коэффициента регрессии
Решение.
1) Рассчитаем
прогнозное значение результативного
признака, подставив индивидуальное
значение фактора
в линейное уравнение регрессии
2) Рассчитаем доверительные интервалы
Доверительный интервал прогноза для функции регрессии рассчитаем как:
Где:
Для расчетов используем таблицу 39.
табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы и определенного уровня значимости .
Доверительный
интервал прогноза показывает, что с
вероятностью
прогнозное значение
средней прибыли по совокупности
предприятий для конкретного значения
фактора
будет находиться в интервале от 36,35258
до 40,05834, не принимая нулевых значений,
т.е. являются статистически значимыми.
Таблица 39
-
№
1
37,80
0,30
0,09
37,792344
1,886044
0,000059
2
38,00
0,50
0,25
38,028410
1,376710
0,000807
3
39,00
0,70
0,49
38,264476
0,947377
0,540996
4
37,50
0,80
0,64
38,382510
0,762711
0,778824
5
39,50
0,90
0,81
38,500543
0,598044
0,998914
6
36,80
1,10
1,21
38,736609
0,328711
3,750454
7
40,00
1,30
1,69
38,972676
0,139378
1,055395
8
40,10
1,60
2,56
39,326775
0,005378
0,597877
9
40,00
1,70
2,89
39,444808
0,000711
0,308238
10
39,00
2,20
4,84
40,034974
0,277378
1,071171
11
38,00
2,50
6,25
40,389074
0,683378
5,707675
12
41,00
2,60
6,76
40,507107
0,858712
0,242944
13
41,60
2,70
7,29
40,625140
1,054045
0,950352
14
41,00
3,00
9,00
40,979240
1,760045
0,000431
15
41,90
3,20
10,24
41,215306
2,330712
0,468806
Итого
591,20
25,10
55,01
591,199992
13,009333
16,472942
В среднем
1,673333
б) Рассчитаем доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения , при
Доверительный интервал примет вид:
Доверительный
интервал прогноза показывает, что с
вероятностью
прогнозное значение
индивидуальной средней прибыли для
конкретного значения фактора
будет находиться в интервале от 35,148114
до 41,262806, не принимая нулевых значений,
т.е. являются статистически значимыми.
в) Рассчитаем доверительный интервал для свободного члена уравнения .
где
Доверительный
интервал прогноза показывает, что с
вероятностью
значение параметра
находится в интервале от 36,147123 до
38,729365, не принимая нулевых значений,
т.е. являются статистически значимыми.
г) Для коэффициента регрессии доверительный интервал имеет вид:
где
Доверительный интервал показывает, что с вероятностью прогнозное значение будет находиться в интервале от 0,505907 до 0,674425, не принимая нулевых значений, т.е. является статистически значимым.