2.4.2.2 Частные уравнения регрессии

Частные уравнения регрессии, рассчитываются на основе множественного уравнения регрессии:

(116)

Они показывают изолированное влияние одного конкретного фактора на результативный признак , при зафиксированном, на среднем уровне, положении остальных, включенных в модель факторов. Влияния зафиксированных факторов в уравнениях частной регрессии присоединены к свободному члену уравнения регрессии .

Частные множественные регрессии записываются, как:

(134)

Обозначение показывает, что изучается влияние на результат , фактора , при зафиксированном на среднем уровне положении факторов . Обозначение показывает, что изучается влияние на результат , фактора , при зафиксированном на среднем уровне положении факторов , и т, д. Знак в нижнем индексе обозначения отделяет фактор влияния, которого исследуется, от факторов, влияние которых изолируется.

Частные уравнения множественной регрессии для линейной модели имеют вид:

(135)

На основе частных уравнений регрессии рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

(136)

Частные коэффициенты эластичности отличаются от средних коэффициентов.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько, в среднем, процентов изменится результат при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения .

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько в среднем процентов изменится результат, если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на 1%, при зафиксированных, на средних уровнях величин остальных, включенных в модель, факторов.

(137)

Пример 20. Имеются данные по 40 хозяйствам о средней урожайности (ц/га), качества почвы (баллов), затратах труда (чел-час./1га.), внесение минеральных удобрений (ц.д.в. на 1га.), стоимость основных фондов (тыс. руб. на 100 га.) (табл. 42).

Таблица 42

№	Урожайность, ц/га	Качество пашни, балов	Затраты труда чел.-час на 1 га	Внесение мин. удобрений на 1 га ц.д.в.	Стоимость ОФ на тыс.руб. 100 га
1	10,49	67	15,45	0,76	18,21	10,048113
2	8,57	53	16,13	1,06	19,17	9,601560
3	10,95	70	17,59	1,06	20,42	11,593826
4	9,23	51	18,84	0,52	20,00	8,633346
5	11,97	70	18,43	0,99	20,37	11,524121
6	8,56	56	12,44	0,67	21,04	8,887059
7	12,18	55	15,50	1,02	20,25	9,800000
8	7,93	47	16,34	0,44	17,68	7,427264
9	15,75	89	17,13	1,22	28,19	14,929855
10	13,61	74	17,10	0,72	22,63	11,502371
11	13,99	52	27,16	1,59	40,16	15,194027
12	12,57	87	14,92	1,23	21,12	13,414848
13	10,93	65	18,17	0,82	26,01	11,506605
14	9,86	54	17,24	0,98	17,99	9,461020
15	7,39	48	14,64	0,41	21,90	7,917362
16	9,23	61	14,70	0,79	20,47	9,804117
17	15,40	79	28,81	1,20	29,01	15,372985
18	13,14	85	21,87	0,99	23,40	13,824023
19	13,12	83	16,88	0,91	25,53	13,217642
20	10,27	64	16,65	0,83	21,18	10,512752
21	9,12	55	16,10	0,81	20,24	9,395289
22	13,42	72	18,02	1,21	20,22	12,140147
23	10,29	69	16,91	0,78	24,89	11,485126
24	11,55	72	14,90	0,86	20,86	11,101097
25	15,26	87	17,64	1,21	28,42	14,808601
26	12,35	79	14,41	1,20	19,73	12,305857
27	8,24	49	12,62	1,07	18,57	8,749497
28	10,41	64	18,13	0,79	21,07	10,573475
29	9,62	52	17,30	0,77	24,46	9,806811
30	10,76	65	17,16	0,82	20,46	10,532588
31	8,35	51	14,65	0,63	22,82	8,842748
32	10,31	75	13,66	0,79	19,89	10,941740
33	9,38	55	12,07	0,73	22,92	9,174913
34	14,93	72	14,38	1,05	33,99	13,502339
35	12,46	79	14,53	1,03	22,95	12,436891
36	10,45	59	16,54	0,92	23,20	10,534678
37	12,38	80	21,64	0,95	21,64	12,955222
38	7,74	76	10,27	0,65	16,87	9,872332
39	14,49	89	19,44	1,05	24,49	14,236792
40	8,50	47	15,05	0,56	17,89	7,582986
Итого	445,15	2657,00	671,41	36,09	900,31	445,152022
Среднее	11,128750	66,425000	16,785250	0,902250	22,507750
	2,305561	12,959335	3,458573	0,240692	4,463267

Необходимо построить уравнение множественной линейной регрессии, рассчитать парные коэффициенты регрессии, частные и средние коэффициенты эластичности, провести прогнозирование урожайности, при различных значениях факторов, то есть рассчитать:

• максимально возможную урожайность,

• минимальную урожайность,

• урожайность для средних значений фактора,

• частные уравнения регрессии, при максимальном значении одного фактора и средних значениях двух других факторов.

Решение.

1) Уравнение множественной линейной регрессии для данного примера имеет вид:

Для решения данного уравнения представим его в стандартизированном масштабе:

где: - стандартизованные переменные:

,

- стандартизованные коэффициенты регрессии

МНК для решения множественного уравнения линейной регрессии в стандартизованном виде дает систему уравнений:

Для нашего примера:

Между стандартизированными переменными и коэффициентами парной корреляции существует следующая взаимосвязь:

2) Рассчитаем коэффициенты парной корреляции. Расчет проведем, используя программу Microsoft, таблица 43.

Таблица 43

	Столбец 1 y	Столбец 2 x1	Столбец 3 x2	Столбец 4 x3	Столбец 5 x4
Столбец 1 y	1,000000
Столбец 2 x1	0,749996	1,000000
Столбец 3 x2	0,545459	0,188222	1,000000
Столбец 4 x3	0,731053	0,474013	0,466501	1,000000
Столбец 5 x4	0,640037	0,223318	0,549570	0,539163	1,000000

3) Подставим значения коэффициентов корреляции в систему.

Для решения системы уравнения воспользуемся методом Гаусса.

4). Составим матрицу, в которую внесем все числа (коэффициенты) при переменных , за горизонтальную черту вынесем итог по каждому уравнению:

– матрица 1

5) Далее необходимо привести к нулю первые коэффициенты строк 2,3,4, первая строка остается без изменений – рабочая строка. Для этого:

а) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту второй строки матрицы 1, т.е. на , получим

суммируем полученную строку со второй строкой матрицы 1, получим расчетную строку 1.

б) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту третьей строки матрицы 1, т.е. на получим

суммируем полученную строку с третьей строкой матрицы 1, получим расчетную строку 2.

в) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту четвертой строки матрицы 1, т.е. на получим

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 1, получим расчетную строку 3.

6) Составим новую матрицу (матрица 2). Первой строкой данной матрицы будет первая строка матрицы 1, второй строкой (рабочей) – расчетная строка 1, третьей – строка 2, четвертой – строка 3.

– матрица 2

7) Далее, необходимо привести к нулю вторые коэффициенты строк 3 и 4 матрицы 2, первая строка остается без изменений, рабочей будет вторая строка. Для этого:

а) Найдем число, которое при умножении на второй коэффициент рабочей строки матрицы 2 - , даст число, противоположное (с другим знаком) второму коэффициенту третьей строки - . Для этого найдем отношение: , так как второй коэффициент третьей строки число положительное, полученное число возьмем со знаком минус и умножим на него вторую (рабочую) строку матрицы 2:

суммируем полученную строку с третьей строкой матрицы 2, получим расчетную строку 4:

б) Найдем число, которое при умножении на второй коэффициент рабочей строки матрицы 2 - , даст число, противоположное (с другим знаком) второму коэффициенту четвертой строки - . Для этого найдем отношение: , так как второй коэффициент четвертой строки число положительное, полученное число возьмем со знаком минус и умножим на него вторую (рабочую) строку матрицы 2:

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 2, получим расчетную строку 5:

8). Составим новую матрицу – 3. Первые две строки возьмем без изменений из матрицы два, третьей строкой (рабочей) будет расчетная строка 4, четвертой строкой – расчетная строка 5.

– матрица 3

9) Далее необходимо привести к нулю третий коэффициент строки 4. Для этого:

Найдем число, которое при умножении на третий коэффициент рабочей строки матрицы 3 - , даст число, противоположное (с другим знаком) третьему коэффициенту четвертой строки - . Для этого найдем отношение , так как третий коэффициент четвертой строки число положительное, полученное число возьмем со знакам минус и умножим на него третью (рабочую) строку матрицы 3.

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 3

10) Составим новую матрицу – 4. Первые три строки возьмем без изменений из матрицы три, а четвертой строкой – расчетная строка 6.

– матрица 4

11) Подставим полученные коэффициенты в систему

12) Рассчитаем значение стандартизированных коэффициентов регрессии .

а) Из четвертого уравнения системы рассчитаем :

б) Подставим полученное значения в третье уравнение системы и рассчитаем значение :

в) Подставим значения и во второе уравнения системы и получим значение :

г) Подставим значения , , во второе уравнения системы и получим значение :

13) Зная, что между -коэффициентами и коэффициентами регрессии в натуральном масштабе существует следующая взаимосвязь:

соответственно

а)

б)

в)

г)

Таким образом, используя метод Гаусса, рассчитали коэффициенты регрессии , параметр найдем по формуле:

14) Подставим рассчитанные параметры в уравнение множественной регрессии:

а) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - качество пашни на 1 балл, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,096083 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

б) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - затраты труда на 1 чел.-час./га, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,113165 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

в) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - внесение минеральных удобрений на 1 ц.д.в./га средняя урожайность в среднем возрастет на 2,243155 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

г) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - стоимость ОФ на одну тыс.руб./100га, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,15490 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

15) Проведем прогнозирование средней урожайности на основе полученного уравнения множественной регрессии:

а) Рассчитаем максимально возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим максимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора положителен, или минимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора отрицателен. В данном примере все коэффициенты регрессии положительны, соответственно значения факторов берем максимальные , , , , и подставляем в уравнение.

б) Рассчитаем минимально возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим минимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора положителен, или максимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора отрицателен. В данном примере все коэффициенты регрессии положительны, соответственно значения факторов берем минимальные , , , , и подставляем в уравнение.

в) Рассчитаем среднюю возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим средние значения , , , .

16) Рассчитаем частные уравнения регрессии

а) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

б) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

в) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

г) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

17) На основе частных уравнений регрессии рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

а) При максимальном значении фактора , и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,64%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

б) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,26%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

в) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,28%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

г) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,45%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

18) Рассчитаем средние коэффициенты эластичности для каждого фактора:

а) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,57%, при фиксированном положении остальных факторов.

б) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,17%, при фиксированном положении остальных факторов.

в) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,18%, при фиксированном положении остальных факторов.

г) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,31%, при фиксированном положении остальных факторов.

19) Коэффициенты средней эластичности позволяют ранжировать факторы по степени их влияния на результативный признак, для нашего примера:

1. - качество пашни, балов

2. - стоимость ОФ тыс.руб. на 100га

3. - внесение минеральных удобрений на 1га.тыс.руб.

4. - затраты труда, чел.-час.

20) Расчет множественной регрессионной модели в программе Microsoft Excel аналогичен расчету парной регрессии и рассмотрен в примере 1 (вводим входной интервал, выделяя все столбики содержащие факторы ). Для данного примера приведем таблицу, содержащую результаты – рисунок 9.

Рисунок 9.

Параметр в данной таблице находится на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Y-пересечение», параметр - на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Переменная Х1», - строки «Переменная Х2», - строки «переменная Х3», - строки «Переменная Х4».