2.4.2.4. Частная корреляция
Множественный коэффициент (индекс) корреляции показывает тесноту связи между результатом и всеми включенными в модель факторами, для того, чтобы изучить силу связи между результатом и только одним из включенных в модель факторов, рассчитывают частные коэффициенты корреляции, для каждого из факторов включенных в модель.
Частный
коэффициент корреляции
показывает тесноту связи между
результативным признаком
и
только одним фактором
при
элиминировании (устранении) влияния
всех остальных включенных в модель
факторов.
В зависимости от того, влияние скольких факторов необходимо исключать различают частные коэффициенты разных порядков: нулевого, первого, второго, третьего и т.д. Так, например:
Коэффициенты частной корреляции нулевого порядка – коэффициенты парной корреляции, так как нет необходимости устранять влияние даже одного фактора.
Коэффициенты частной корреляции первого порядка – коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние одного фактора (
,
,
и
т.д.).Коэффициенты корреляции второго порядка – коэффициенты частной корреляции, в которых элиминируется влияние двух факторов (
,
,
и
т.д.) и так далее.
Коэффициенты
частной корреляции более высоких
порядков рассчитываются через коэффициенты
корреляции более низких порядков.
Коэффициенты первого порядка через
коэффициенты нулевого порядка, второго
порядка через коэффициенты первого
порядка и т.д. Рекуррентная формула для
расчета коэффициентов частной корреляции
порядка имеет вид:
(151)
Коэффициенты частной корреляции могут принимать значения в пределах от -1 до 1.
Также частные коэффициенты корреляции можно рассчитать через множественные коэффициенты детерминации. Так коэффициент частной корреляции второго порядка рассчитывается как:
или
и
т.д. (152)
В общем виде уравнение для расчета коэффициентов частной корреляции порядка имеет вид:
(153)
где
-
коэффициент множественной детерминации
для всех факторов.
-
коэффициент множественной детерминации
без включения в модель фактора
.
Рассчитанные через множественные коэффициенты детерминации частные коэффициенты корреляции могут принимать значения в интервале от 0 до 1.
Кроме того, частные
коэффициенты корреляции можно рассчитать
через
.
Так, например, частные коэффициенты
корреляции первого порядка для
двухфакторной линейной модели, выраженной
в стандартизованном масштабе
:
(131)
Отсюда:
и
(154)
Возводя в квадрат коэффициенты частной корреляции, получают коэффициенты частной детерминации.
Частные коэффициенты корреляции используют при формировании корреляционно-регрессионной модели, для отбора факторов. При этом из модели исключают факторы несущественные по критерию Стьюдента.
Коэффициент частной детерминации показывает долю вариации результативного признака дополнительно сложившуюся при включении в модель фактора , в вариации признака, не объясненную включенными до этого в модель факторами. Можно рассчитать по формуле на основе коэффициентов множественной детерминации.
(155)
где
- коэффициент множественной детерминации для всех факторов.
-
коэффициент множественной детерминации
без включения в модель фактора
.
Зная коэффициенты частной детерминации, последовательно нулевого, первого, второго и более высоких порядков, определяют коэффициент множественной корреляции.
(156)
Пример 21. По данным примера 20 необходимо рассчитать:
линейный индекс множественной корреляции, детерминации
линейные коэффициенты частной корреляции первого и второго порядков, детерминации.
Решение.
1. Рассчитаем индекс множественной корреляции по формуле:
В таблице 44 рассчитаем все возможные значения.
Таблица 44
-
№
1
10,49
0,408002
10,048113
0,195264
2
8,57
6,547202
9,601560
1,064116
3
10,95
0,031952
11,593826
0,414512
4
9,23
3,605252
8,633346
0,355996
5
11,97
0,707702
11,524121
0,198808
6
8,56
6,598477
8,887059
0,106968
7
12,18
1,105127
9,800000
5,664400
8
7,93
10,232002
7,427264
0,252743
9
15,75
21,355952
14,929855
0,672638
10
13,61
6,156602
11,502371
4,442100
11
13,99
8,186752
15,194027
1,449681
12
12,57
2,077202
13,414848
0,713768
13
10,93
0,039502
11,506605
0,332473
14
9,86
1,609727
9,461020
0,159185
15
7,39
13,978252
7,917362
0,278111
16
9,23
3,605252
9,804117
0,329610
17
15,40
18,243577
15,372985
0,000730
18
13,14
4,045127
13,824023
0,467887
19
13,12
3,965077
13,217642
0,009534
20
10,27
0,737452
10,512752
0,058929
21
9,12
4,035077
9,395289
0,075784
22
13,42
5,249827
12,140147
1,638024
23
10,29
0,703502
11,485126
1,428326
Окончание таблицы 44
-
24
11,55
0,177452
11,101097
0,201514
25
15,26
17,067227
14,808601
0,203761
26
12,35
1,491452
12,305857
0,001949
27
8,24
8,344877
8,749497
0,259587
28
10,41
0,516602
10,573475
0,026724
29
9,62
2,276327
9,806811
0,034898
30
10,76
0,135977
10,532588
0,051716
31
8,35
7,721452
8,842748
0,242801
32
10,31
0,670352
10,941740
0,399095
33
9,38
3,058127
9,174913
0,042061
34
14,93
14,449502
13,502339
2,038216
35
12,46
1,772227
12,436891
0,000534
36
10,45
0,460702
10,534678
0,007170
37
12,38
1,565627
12,955222
0,330880
38
7,74
11,483627
9,872332
4,546840
39
14,49
11,298002
14,236792
0,064114
40
8,50
6,910327
7,582986
0,840915
Итого
445,150000
212,624438
445,152025
29,602363
В среднем
11,128750
Рассчитаем индекс множественной корреляции по формуле:
Значение
стандартизованных коэффициентов
регрессии
и
коэффициенты корреляции
из примера 21.
Индекс множественной
корреляции
показывает, что между результативным
признаком и всеми тремя включенными м
модель факторами существует тесная
связь (направление связи индекс
множественной корреляции не определяет).
Индекс множественной детерминации:
Индекс множественной
детерминации
показывает, что 86% вариации результативного
признака обусловлено влиянием включенных
в модель факторов.
Расчет множественного
индекса корреляции
и множественного индекса детерминации
произведем в программе Microsoft
Excel
рассмотрен в примере 20, рисунок 9.
2. Рассчитаем частные коэффициенты корреляции по рекуррентной формуле:
Для этого воспользуемся матрицей парных коэффициентов корреляции из примера 20, (табл. 45).
Таблица 45
|
Столбец 1 y |
Столбец 2 x1 |
Столбец 3 x2 |
Столбец 4 x3 |
Столбец 5 x4 |
Столбец 1 y |
1,000000 |
|
|
|
|
Столбец 2 x1 |
0,749996 |
1,000000 |
|
|
|
Столбец 3 x2 |
0,545459 |
0,188222 |
1,000000 |
|
|
Столбец 4 x3 |
0,731053 |
0,474013 |
0,466501 |
1,000000 |
|
Столбец 5 x4 |
0,640037 |
0,223318 |
0,549570 |
0,539163 |
1,000000 |
а) Рассчитаем частные коэффициенты корреляции и детерминации первого порядка.
коэффициенты частной корреляции и детерминации первого порядка между результативным признаком и фактором :
коэффициенты частной корреляции и детерминации первого порядка между результативным признаком и фактором :
коэффициенты частной корреляции и детерминации первого порядка между результативным признаком и фактором :
коэффициенты частной корреляции и детерминации первого порядка между результативным признаком и фактором
:
коэффициенты частной корреляции первого порядка между факторами (для расчета частных коэффициентов второго порядка):
б) Рассчитаем частные коэффициенты корреляции и детерминации второго порядка.
коэффициенты частной корреляции и детерминации второго порядка между результативным признаком и фактором :
коэффициенты частной корреляции и детерминации второго порядка между результативным признаком и фактором :
коэффициенты частной корреляции и детерминации второго порядка между результативным признаком и фактором :
коэффициенты частной корреляции и детерминации второго порядка между результативным признаком и фактором
:
Коэффициенты частной корреляции третьего порядка рассчитываем аналогичным образом через частные коэффициенты корреляции второго порядка.