Свойства главного вектора и главного момента

1. Модуль и направление F_гл не зависят от выбора центра приведения.

2. Величина и знак М_гл зависят от выбора центра приведения.

3. Главный вектор F_гл и равнодействующая F_∑ системы сил векторно равны, но не эквивалентны.

Частные случаи

1. F_гл = 0, М_гл 0

Если главный вектор данной плоской системы сил равен нулю, а ее главный момент не равен нулю, то эта система эквивалентна паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов всех данных сил относительно любой точки плоскости.

2. F_гл 0, М_гл = 0

Если главный вектор данной плоской системы сил не равен нулю, а главный момент равен нулю, то эта система приводится к равнодействующей, равной по модулю и направлению главному вектору F_гл.

Пример 9. Найти главный момент системы (рисунок 45), если центр приведения – точка D.

Решение

Рисунок 45

3. Теорема Вариньона

Момент равнодействующей произвольной плоской системы сил относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно той же точки.

(15)

3. Условие равновесия произвольной плоской системы сил

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра равнялись нулю.

F_гл = 0;

М_гл = 0 (16)

или

(17)

(18)

Каждое из двух равенств (16) выражает необходимое условие равновесия, но одного из них недостаточно для равновесия системы.

5. Уравнения равновесия

Из равенств (17) и (18) вытекает:

Выучи наизусть!

Первая форма уравнений равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы:

1. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось Х равнялась нулю;

2. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось Y равнялась нулю;

3. Алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки равнялась нулю:

(19)

Запомни!

1. З а центр моментов (точку О) нужно принимать точку опоры, где пересекается больше неизвестных сил (тогда уравнения моментов будут проще).

2. Для проверки решения необходимо составить новое уравнение моментов относительно точки, где нет опоры.

Выучи наизусть!

Вторая форма уравнений равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на какую-либо ось и алгебраические суммы моментов сил относительно двух любых точек были равны нулю:

(20) или (21)

Причем, ось Х или Y не должна быть перпендикулярной линии АВ.

Запомни!

1. За точки А и В целесообразно принимать точки опор.

2. Для проверки необходимо составить уравнение проекций сил на другую ось.

Для условия (20) .

Для условия (21) .

Выучи наизусть!

Третья форма уравнений равновесия

Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов сил относительно трех любых точек, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю:

(22)

Подумай и ответь на вопросы

25. К трапеции АВСD приложена уравновешенная система сил (рисунок 46). Все размеры трапеции известны. Какое одно уравнение надо использовать, чтобы найти F₄, если известна только сила F₁?

1) ; 2) ; 3) 4)

5) 6)

25. Какую точку целесообразно принять за центр моментов (рисунок 47) при определении реакции опоры R_AY?

1) Точку А; 2) Точку В; 3) Точку С.

Рисунок 46 Рисунок 47

25. Составить уравнение моментов относительно точки С (рисунок 48).

1) F·a + R_B·3·a + M = 0; 2) –М – R_B·4·а – R_А·а = 0;

3) –R_А·а + R_B·4·а – М = 0; 4) М – R_B·4·а –R_А·а = 0.

25. Составить уравнение моментов относительно точки D (рисунок 49).

1) М + R_B·2·a + R_А·6·а + F·a = 0; 2) F·8·a + R_А·6·а + R_B·2·a = 0;

3) М + R_B·2·a – R_А·2·а + F = 0; 4) R_А·8·а - F·6·a + R_B·2·a + М = 0.

Рисунок 48 Рисунок 49

25. Чему равен момент силы F, относительно точки А (рисунок 50), если

АВ = ВD = СD = АС, F = 5 кН, АС = 2 м?

1 М_А(F) = 10 кН·м;

2 М_А(F) = -10 кН·м;

3 М_А(F) = -7 кН·м.

Рисунок 50