2. Назначение гипотез прочности

При простом нагружении бруса достаточно было найти главный кубик, где главные напряжения максимальны σ₁ = σ_max и сравнить его с допускаемым , т.е. .

Если брус испытывает двух- или трехосное напряженное состояние, то главных кубик в опасной точке (где главные напряжения максимальны), будет одновременно растягиваться или сжиматься двумя или тремя главными напряжениями. Для нахождения этих опасных напряжений в лабораториях прочности пришлось бы проводить огромное количество дорогих опытов.

Чтобы избежать этого применяют гипотезы прочности: предположения об условиях, при которых сложное напряженное состояние будет равноопасно одноосному, т.е. обычному растяжению.

Суть применения гипотез:

Брус, испытывающий сложное напряженное состояние заменяют эквивалентным растянутым брусом, который проверяют на прочность (рисунок 204).

(106)

Сложно напряженный брус считается прочным, если прочен заменяющий его эквивалентный брус.

Г ипотезы прочности (определение σ_экв) требуют экспериментального подтверждения для разных случаев нагружения.

Рисунок 204

2. Виды гипотез прочности

Первая гипотеза прочности (Галилей, VII век). Причина разрушения – возникновение наибольших напряжений растяжения σ_р или сжатия σ_с без учета двух других главных напряжений.

Экспериментально не подтвердилась для сложного напряженного состояния.

Вторая гипотеза прочности (Э. Мариотт, 1682 г.). Прочность в точке достигает критического состояния при максимальной деформации .

Экспериментально не подтвердилась для сложного НС.

Третья гипотеза прочности (Ш. Кулон, 1773 г.) – гипотеза наибольших касательных напряжений.

Два напряженных состояния равноопасны, если максимальные касательные напряжения для них одинаковы.

или

Условие прочности (107)

или

Четвертая гипотеза прочности (О. Мор, 1900 г.) – гипотеза Мора.

Гипотеза универсальна, применяется для хрупких и пластичных материалов, но не учитывает σ₂. Получена развитием III гипотезы.

, (108)

где - для хрупких материалов;

- для пластичных материалов.

Пятая гипотеза прочности – гипотеза энергии формоизменения.

Два напряженных состояния равноопасны, если в них накоплена одинаковая потенциальная энергия изменения формы.

или (109)

Идею энергетической гипотезы выдвинул в 1885 г. Бельтрамм, а затем уточнил А. Губер (1094 г., львовский профессор), Р. Мизес (1913 г.), Г. Генки (1924 г.).

В настоящее время используются лишь три последние гипотезы, которые избавляют проектировщиков от необходимости испытывать детали и конструкции на прочность.

2. Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением

Формулы для расчета эквивалентных напряжений

Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений

.

Эквивалентное напряжение по гипотезе энергии формоизменения

,

где - расчетное касательное напряжение;

- расчетное нормальное напряжение.

Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения

,

где М_экв – эквивалентный момент.

Эквивалентный момент по гипотезе максимальных касательных напряжений

.

Эквивалентный момент по гипотезе энергии формоизменения

.

Порядок расчета валов на изгиб с кручением.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизонтальной плоскостях, т.е. получить расчетную схему вала;

2. По заданной мощности Р и угловой скорости ω определить вращающие моменты, действующие на вал;

3. Вычислить нагрузки F₁, F_r1, F₂ и F_r2, приложенные к валу;

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости (эпюры М_х и М_у);

5. Определить наибольшее значение эквивалентного момента

или ;

6. Положив , определить требуемое значение осевого момента сопротивления ;

7. Из выражения определить d – диаметр вала, округлив его значение (в мм) в большую сторону целого четного числа или числа, оканчивающегося на пять.

П ример 35

Для стального вала круглого поперечного сечения с одним зубчатым колесом (рисунок 205), передающего мощность Р = 12 кВт при угловой скорости ω = 40 рад/с, определить диаметр вала в опасном сечении, приняв = 60 МПа и полагая, что F_r = 0,4 F_t.

Решение

1 Момент, передаваемый валом Н·м.

2 Окружная сила

Н.

3 Радиальная сила

Н.

4 Опорные реакции от окружной силы (рисунок 205-б)

;

откуда Н;

откуда Н. Рисунок 205

5 Проверяем правильность определения опорных реакций:

; ; 2000 - 5000 + 3000 = 0.

Строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рисунок 205-в).

М_ХС = 0;

М_ХА = F_t · 0,3 = 2000 · 0,3 = 600 Н·м;

М_ХВ = 0.

Находим опорные реакции от радиальной силы F_r (рисунок 205-г)

; ,

откуда Н.

; ,

откуда Н.

Проверяем правильность определения опорных реакций: ; ; -800 + 2000 - 1200 = 0.

Строим эпюру изгибающих моментов от силы F_r, действующей в горизонтальной плоскости (рисунок 205-б).

М_YС = 0;

М_YА = F_r · 0,3 = -800 · 0,3 = -240 Н·м;

М_YВ = 0.

Значение крутящего момента в любом сечении вала М_х = М = 300 Н·м. Из эпюр изгибающих моментов следует, что опасное сечение вала проходит через точку А.

Определяем наибольшее значение эквивалентного момента

Н·м.

Определяем диаметр вала в опасном сечении

мм.

Принимаем d = 50 мм.