Тема 2.8 Устойчивость сжатых стержней

назад в содержание

1. Понятие об устойчивости

Часто элементами конструкции служат стержни, у которых поперечные размеры значительно меньше продольных, т.е. стержни являются длинными и тонкими.

Такие стержни под действием осевой сжимающей нагрузки могут изгибаться и их необходимо рассчитывать на устойчивость (рисунок 206).

У стойчивость – это способность конструкции (стержня) сохранять первоначальную прямолинейную форму упругого равновесия после снятия нагрузки.

Максимальная сжимающая нагрузка F_кр, при которой прямолинейная форма устойчива называется критической силой F_кр.

Как только сжимающая сила станет чуть больше F_кр, стержень получит большие прогибы, а напряжения σ в поперечном сечении стержня скачком возрастут и станут выше предельных σ_т.

Во многих конструкциях (стойка шасси самолета) выход стержня из прямолинейного равновесия равносилен выходу конструкции из строя. Чтобы стержень был устойчив, необходимо, чтобы .

Рисунок 206

Расчет на устойчивость проводят по формуле

, (110)

где - допускаемая осевая нагрузка,

- требуемый коэффициент запаса устойчивости.

F_кр определяют по формулам Эйлера или Ясинского.

2. Формула Эйлера

Формула Л. Эйлера (1744 г.) применяется для расчета стержней с большой гибкостью, в которых при F_кр возникают сжимающие напряжения , т.е. справедлива в пределах действия закона Гука, когда деформации только упругие.

- формула Эйлера, (111)

где Е – модуль продольной упругости материала стержня;

J_min – минимальный осевой момент инерции сечения (J_х или J_у), т.к. потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости;

l – длина стержня;

μ – коэффициент приведения длины, зависит от способа закрепления концов стержня рисунок (207).

К ритические напряжения

, , (112)

где - гибкость стержня.

Так как формула Эйлера применима при , то

Рисунок 207

, откуда . (113)

- гибкость стержня, безразмерная постоянная данного материала.

Таким образом, формула Эйлера применима для стержней с .

3. Формула Ясинского

Многие конструкции имеют стержни с . В этом случае применяется формула Ф.О. Ясинского

; , (114)

где а, b – коэффициенты, имеющие размерность МПа (таблица 22).

Таблица 22

Материал	а, МПа	b, МПа	λ0	λпред	Рисунок 208
Сталь Ст2 Сталь Ст3 Сталь 20, Ст4 Сталь 45 Дюралюмин Д16Т Сосна, ель	264 310 328 449 405 29,3	0,70 1,14 1,15 1,67 1,83 0,194	60 60 60 52 30 -	105 100 96 85 53 70

Зависимость критического напряжения от гибкости стержня представлена на рисунке 208.

• Для стержней малой гибкости проводится расчет на сжатие .

• Для стержней средней гибкости расчет проводят по формуле Ясинского .

• Для стержней большой гибкости расчет проводят по формуле Эйлера .

Пример 36

Определить осевую допускаемую нагрузку для шарнирно-закрепленного на концах стержня (рисунок 209) диаметром d = 60 мм, изготовленного из стали 3 с λ₀ = 60, λ_пред = 100, длина стержня l = 3 м, коэффициент запаса устойчивости = 2.

Решение

Для закрепления концов μ = 1.

Проверим применимость формулы Эйлера.

Для круга м⁴;

м².

Гибкость стержня .

Так как , то можно пользоваться формулой Эйлера.

Рисунок 209 Н = 142 кН,

где Е = 2·10⁵ Н/мм² = 2·10¹¹ Н/м².

Допускаемая нагрузка кН.

Пример 37

Определить, при какой длине стержня предыдущего примера формулой Эйлера пользоваться нельзя.

Решение

Формулой Эйлера нельзя пользоваться при гибкости стержня .

; м.

Ответ: при длине l < 1,5 м.