3. Перемещения и деформации. Закон Гука

При растяжении длина бруса увеличивается на Δl (при сжатии уменьшается на Δl), а поперечный размер d уменьшается на Δd (при сжатии увеличивается на Δd) (рисунок 113).

Рисунок 113

Δl – абсолютное удлинение бруса,

Δd – абсолютная поперечная деформация.

Относительная продольная деформация (относительное удлинение)

(74)

Относительная поперечная деформация .

Продольная и поперечная деформации пропорциональны друг другу.

- коэффициент Пуассона.

Для каждого материала он свой: для стали μ = 0,3; для пробки μ = 0; для резины μ = 0,5, т.е. .

В результате экспериментов выведена закономерность

(75) – закон Гука I или

В пределах упругости материала абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе N в сечении, его длине l и обратно пропорциональна площади поперечного сечения А и модулю продольной упругости Е.

Е [ ] – модуль продольной упругости материала, характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться растяжению и сжатию.

Для стали Е = 2 · 10⁵ Н/мм²;

для меди (бронзы) Е = 1 · 10⁵ Н/мм²;

для алюминиевых сплавов Е = 0,7 · 10⁵ Н/мм².

Преобразуем формулу (75), поделив обе части на l:

, т.е. или (76) - закон Гука II.

В пределах упругих деформаций нормальное напряжение σ в поперечном сечении прямо пропорционально относительной продольной деформации ε.

Закон Гука применим при , когда деформации упругие.

ЕА – называется жесткостью сечения бурса.

Д ля ступенчатого бруса (рисунок 114), состоящего из нескольких участков, удлинение можно определить, применив принцип независимости действия сил:

Рисунок 114

Пример 27. Определить удлинение стального ступенчатого бруса примера 26. Найти перемещение λ свободного конца бруса.

Решение

Определяем абсолютную деформацию бруса (удлинение или укорочение). В соответствии с законом Гука , где Е – модуль продольной упругости материала бруса.

Складывая удлинения участков, получим полную деформацию Δl (1м=1000мм).

Δl = Δl_I + Δl_II + Δl_III + Δl_IV.

; ;

; ;

Δl = 0,25 + 0,15 – 0,44 = -0,04 мм.

Брус укоротился на 0,04 мм.

Перемещение свободного конца бруса λ = Δl = 0,04 мм. Свободный конец переместится на 0,04 мм в сторону от заделки.

Подумай и ответь на вопросы

45. Зависит ли удлинение бруса от его материала?

1) зависит; 2) не зависит.

45. Как изменится укорочение бруса при сжатии, если диаметр бруса увеличить в 2 раза?

1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится.

45. При проведении испытаний были получены различные значения коэффициента Пуассона для стали: 0,15; 0,3; 0,4. Какие значения ошибочны?

1) 0,15; 0,4; 2) 0,3; 3) все ошибочны.

4. Статические испытания материалов.

Основные механические характеристики

Материалы условно делят на пластичные (низкоуглеродистая сталь, медь) и хрупкие (чугун).

Пластичные материалы

Образец (проволока) с начальными размерами d, l, A закрепляют в разрывной машине. К нему прикладывают постепенно возрастающую растягивающую силу F и измеряют удлинение Δl. В результате машина дает график зависимости F – Δl (рисунок 115).

Рисунок 115 Рисунок 116

Так как усилия и удлинения зависят от размеров образца ( ), то эту диаграмму перестраивают в условную, т.е. в зависимость σ – ε (рисунок 117).

Рисунок 117

Механические характеристики прочности материала:

- предел пропорциональности – это максимальное напряжение, до которого справедлив закон Гука.

При деформации будут только упругие.

При помимо упругих в образце возникают и остаточные (пластические) деформации.

- предел текучести – это напряжение, при котором деформации растут без увеличения нагрузки.

В этой стадии деформации полированная поверхность образца становится матовой и на ней появляется сетка линий, наклоненных к оси образца под углом примерно 45^о – это следы сдвига частиц.

- предел прочности (или временное сопротивление) – это условное напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, выдерживаемой образцом до разрушения.

В этот момент на образце появляется местное утоньшение – шейка.

Характеристики пластичности материала:

- относительное остаточное удлинение при разрыве;

- относительное поперечное сужение.

Чем больше δ на графике, тем пластичнее материал.

При материал считают пластичным, при - хрупким.

При сжатии пластичного материала диаграмма до будет такой же (рисунок 117), т.е. σ_{пц р} = σ_{пц с}; σ_тр = σ_тс; σ_вр < σ_вс.

При отсутствии площадки текучести у пластичного материала, определяют условный предел текучести - напряжение, после снятия которого в образце остается остаточная деформация ε_ост = 0,2% = 0,002 (рисунок 118).

Рисунок 118