7. Нормальные напряжения при изгибе

Как известно, при поперечном изгибе в поперечных сечениях балки одновременно возникают нормальные σ и касательные τ напряжения.

Напряжения τ обычно невелики и ими в расчетах часто пренебрегают. В этом случае поперечный изгиб можно считать чистым, так как в поперечном сечении будет действовать только изгибающий момент М_Х, созданный нормальными напряжениями σ.

Нормальное напряжение σ в любой точке произвольного поперечного сечения определяется по формуле (вывод смотри в учебнике)

, (98)

где М_Х [Н·мм] – изгибающий момент в данном поперечном сечении, который определяется по эпюре М_Х;

J_Х [мм⁴] – момент инерции данного сечения относительно нейтральной оси Х;

Y [мм] – расстояние от оси Х до той точки поперечного сечения, где определяется нормальное напряжение σ.

Знак σ определяется по продольным волокнам балки – сжаты они или растянуты.

Из формулы (74) следует, что чем больше у точки Y, т.е., чем дальше она находится от оси Х, тем больше у нее напряжение σ.

На рисунках 180 и 181 показаны графики напряжений σ для точек, лежащих на вертикальной линии.

Рисунок 180 Рисунок 181

Подумай и ответь на вопросы

114. В каких точках поперечного сечения при изгибе напряжения равны 0 (рисунок 182)?

115. Максимальное напряжение в сечении балки диаметром 30 мм, работающей на изгиб, равно σ = 150 МПа. Определить напряжение в точке А (рисунок 183).

Рисунок 182 Рисунок 183 Рисунок 184

114. В каких точках поперечного сечения балки возникают наибольшие нормальные напряжения (рисунок 184)?

115. Максимальные напряжения в сечении σ_max = 100 МПа. Чему равно напряжение в точке В сечения (рисунок 184)?

7. Расчеты на прочность при изгибе

по нормальным напряжениям σ

Для расчетов на прочность необходимо определить максимальные напряжения σ. Они будут в наиболее удаленных от оси Х точках того сечения, где изгибающий момент М_Х максимален (рисунок 181).

; (99)

Так как Y₁ > Y₂, то напряжения σ_maxC > σ_maxp, поэтому материал должен лучше работать (сопротивляться) на сжатие, чем на растяжение – это хрупкий материал, у которого σ_вс > σ_вр. Балки из хрупких материалов должны иметь такие поперечные сечения, в которых нейтральная ось Х смещена в сторону растянутых волокон (рисунок 185, 186), т.е. большая часть балки находилась в растянутой зоне (рисунок 187).

Рисунок 185 Рисунок 186

Рисунок 187

Из хрупких материалов, например, чугуна, отливают различные рамы, станины, подшипниковые подвески, работающие на изгиб. Серый чугун работает на сжатие значительно лучше, чем на растяжение.

Условие прочности для хрупких материалов выражается двумя неравенствами

где ; - допускаемые напряжения на сжатие и растяжение.

Пластичные материалы одинаково сопротивляются растяжению и сжатию

Для этих материалов нужно использовать симметричные сечения, у которых Y_max = Y₁ = Y₂, а значит σ_max = σ_{max c} = σ_{max p}.

Не все симметричные сечения одинаково рациональны. Наилучшим сечением является двутавр.

Сечения, в порядке уменьшения экономичности, приведены на рисунке 188.

Рисунок 188

Максимальные напряжения пластичных материалов

,

где - осевой момент сопротивления сечения (102)

W_Х – это геометрическая характеристика прочности бруса.

Условие прочности для пластичных материалов (все величины берутся по модулю):

(103)

Виды расчетов на прочность при изгибе сведены в таблицу 19.

Таблица 19

Вид расчета	Проверочный расчет	Проектный расчет	Определение допускаемой нагрузки
Исходные данные	Нагрузка на балку, т.е. и МХ max. Материал балки, т.е. . Размеры поперечного сечения, т.е. WХ.	Нагрузка на балку, т.е. и МХ max. Материал балки, т.е. .	Нагрузка, выраженная в буквенном виде. Материал балки, т.е. . Размеры поперечного сечения, т.е. WХ.
Цель расчета	Проверка выполнения условия прочности.	Определение размеров поперечного сечения из условия прочности.	Определение допускаемой нагрузки из условия прочности.
Формула	или
Примечание	Допускается перегрузка:	Прокатные профили: Из таблиц ГОСТ: W X ГОСТ ≥ WX расч	Используя метод сечений МХ = f (F, М), определяют [F] или [М].

Таблица 20 – Основные моменты сопротивления W_Х простых сечений

Сечение	Вывод формулы
1 Круг	[мм3]
2 Кольцо	; [мм3]
3 Прямоугольник:	. [мм3]; [мм3].
4 Прокатные профили: двутавр, швеллер	WX, WY определяются по таблицам ГОСТ 1 см3 = 1000 мм3.

Подумай и ответь на вопросы

114. Какое из указанных поперечных сечений (рисунок 189) является наиболее рациональным при изгибе?

1) 2) 3) 4)

Рисунок 189 Рисунок 190

114. Для какой точки поперечного сечения балки нормальные напряжения могут быть вычислены по формуле (рисунок 190)?

115. Укажите эпюру М_Х балки, которая соответствует заданной схеме нагружения (рисунок 191).

116. Для трех балок построены эпюры Q_Y (рисунок 192). Укажите балки, к которым, наряду с другими видами нагрузок, приложена распределенная нагрузка.

Рисунок 191 Рисунок 192