1.2.2 Определение равнодействующей плоской системы сходящихся сил методом проекций (аналитическим способом)

Поместим силовой многоугольник, построенный для системы сходящихся сил (рисунок 24), в систему осей координат и найдем проекции всех сил F₁, F₂, F₃, F₄ и F_∑ на оси Х и Y (рисунок 29).

Из приведенных построений следует, что:

(4)

(5)

т.е. проекция равнодействующей F_∑ на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций всех составляющих сил на эту же ось.

Рисунок 29

Модуль равнодействующей силы

(6)

Пример 4. Определить аналитическим способом (методом проекций) модуль равнодействующей F_∑.

Решение сведено в таблицу 5.

Таблица 5

Схема сил

1.2.3 Условия равновесия плоской системы сходящихся сил

Условие равновесия в геометрической форме

Рассмотрим систему сходящихся сил (рисунок 30), которая заведомо находится в равновесии, так как противоположно направленные силы F₁ и F₃, F₂ и F₄ уравновешены и их можно исключить. Тогда получим F_∑ = 0.

Построенный для этих сил силовой многоугольник оказался замкнут.

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая F_∑ = 0, а это значит, что силовой многоугольник будет замкнут, т.е., начало первого вектора и конец последнего совпадают и все силы направлены в одну сторону.

Условие равновесия в аналитической

форме

Отсюда следует

(7)

Рисунок 30

Выучи наизусть!

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы:

1. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось Х равнялась нулю.

2. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось Y равнялась нулю.

Подумай и ответь на вопросы

15. Рассмотрите силовые многоугольники (рисунок 31) и решите по ним, какие из систем сходящихся сил являются уравновешенными.

Рисунок 31

4. Решение задач

Выучи наизусть!

Порядок решения задач статики

1. Выбираем нагруженную точку (или тело), равновесие которой рассматриваем.

2. Прикладываем все внешние действующие силы.

3. Отбрасываем связи и заменяем их силами реакций связей.

4. Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей проходила по неизвестной силе.

5. Составляем уравнения равновесия.

6. Решаем уравнения, находим неизвестные величины и проверяем решение.

Пример 5. Определить усилия в стержнях и вид их нагружения.

Решение.

Сведено в таблицу 6.

Таблица 6

Схема и иллюстрация выполняемого действия		Выполняемое действие
Дано		Определить реакции стержней RАВ и RВС.
		Перед решением задачи через нагруженную точку В проведем большие горизонтальную и вертикальную линии и вычислим все острые углы возле нагруженной точки В.
Решение	Р асчетная схема ● В F	1 Выбираем нагруженную точку В и прикладываем к ней внешнюю силу F.

Продолжение таблицы 6

Схема и иллюстрация выполняемого действия		Выполняемое действие
Решение		2 Отбрасываем связи (стержни АВ и ВС) и заменяем их силами реакций связей RАВ и RВС, причем, при решении задач все реакции направляем на растяжение, т.е. по стержню от нагруженной точки. Тогда они будут со знаком «плюс».
	Расчетная схема
	Расчетная схема	3 Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей проходила по неизвестной силе, например, ось Х по силе RАВ. Вычисляем острые углы между силами и осями.
Решение	4 Для системы сходящихся сил составляем уравнения равновесия: ; -RАВ – RВС · cos30о + 0 = 0 ; 0 – RВС · cos60о – F = 0
	5 Решаем уравнения. Из 2-го: (знак «минус» показывает, что эта сила направлена в противоположную сторону, т.е. стержень ВС сжат). Из 1-го: (стержень растянут).
Проверка	6 Для проверки строим силовой многоугольник, начиная с вектора известной силы F. Принимаем масштаб: В 1 клетке 2 кН. Затем из конца силы F откладываем RАВ и проводим из конца ее линию, параллельную линии действия силы RВС. Т ак как RВС имеет знак «минус», то ее откладываем в противоположную сторону. Силовой многоугольник замкнут, значит реакции определены верно.
Ответ	; . Стержень АВ растянут, стержень ВС сжат.

Пример 6. Для определения усилий в стержнях составить расчетную схему сил (рисунок 32).

Рисунок 32

Т = G – так как нить переброшена через блок В.

Сила натяжения нити Т направлена к точке D – точке закрепления нити на стене.

Пример 7. Определить силы, нагружающие стержни АВ и ВС

(рисунок 33-а).

Решение.

Рисунок 33

Согласно схеме нагружения на рисунке 33-а, в точке В прикреплены две нити с грузами F₁ и F₂, а не одна нить, переброшенная через блок.

Уравнения равновесия:

; R_АВ · cos60^о –F₁ · cos60^о = 0;

; F₂ – F₁ · cos30^о – R_ВС - R_АВ · cos30^о = 0;

;

R_ВС = F₂ – F₁ · cos30^о – R_ВС – R_АВ · cos30^о = 20 – 10 · 0,866 – 10 · 0,866 = 2,7 кН.

Ответ: R_АВ = 10 кН; R_ВС = 2,7 кН. Оба стержня АВ и ВС растянуты.