2. Деформации и напряжения при кручении

Допущения, принятые в теории кручения:

• Поперечные сечения бруса, плоские и перпендикулярные оси до кручения остаются такими же и при кручении (гипотеза плоских сечений Бернулли).

• Радиусы, проведенные в сечении, остаются прямыми при закручивании бруса.

• Расстояния между поперечными сечениями не изменяются.

Рисунок 149

Рассмотрим схему нагружения бруса при кручении (рисунок 149).

Из рисунка видно, что поперечные сечения бруса поворачиваются на углы φ относительно неподвижного сечения, причем этот угол тем больше, чем дальше сечение от заделки.

Деформация при кручении – угол закручивания φ.

Закон Гука при кручении имеет вид

[рад] (88)

Он справедлив, пока деформации упругие, т.е. при .

Касательные напряжения τ в любой точке поперченного сечения определяются по формуле

, (89)

где ρ – расстояние от центра сечения до той точки, где определяется напряжение τ (рисунок 150).

Рисунок 150

Напряжение τ будет тем больше, чем дальше точка находится от центра сечения. Максимальное напряжение будет на ободе сечения

(90)

На рисунке 150 показаны графики напряжений τ (эпюры τ) для точек сплошного и кольцевого сечения бруса.

2. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Преобразуем формулу (90) .

Полярный момент сопротивления сечения

[мм³] (91)

Он является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения при кручении.

Для круглого сечения , для кольцевого (смотри таблицу 16).

Условие прочности при кручении

(92)

Виды расчетов на прочность при кручении:

1. Проверочный расчет . Допускается перегрузка .

2. П роектный расчет . Определение размеров поперечного сечения d, D.

3. Определение допускаемой нагрузки .

Зная [М_к] по методу сечений определяют вращающий момент М, а по нему можно найти мощность Р, угловую скорость ω, частоту вращения n (см. п. 2.5.2).

Таблица 16

Сечение	Формула
1	(мм4) (мм3) [мм3]
2	(мм4) (мм3) [мм3]

Условие жесткости при кручении состоит в том, чтобы относительный угол закручивания не превышал допускаемого , т.е.

, (93)

измеряется в рад/м, - в град/м.

По условию жесткости (93) тоже выполняют три вида расчетов: проверочный ; проектный ; определение допускаемой нагрузки .

Пример 39. Для вала (рисунок 151) определить из условия прочности диаметр наиболее нагруженного участка вала, если ω = 100 l/с, [τ_к] = 30 Н/мм².

Решение

В ал вращается с постоянной угловой скоростью, следовательно система вращающих моментов уравновешена. Мощность, подводимая к валу без учета потерь на трение, равна сумме мощностей, снимаемых с вала:

Р₁ = Р₂ + Р₃ + Р₄ = 10+12+8 = 30 кВт.

Определяем вращающие моменты на шкивах:

;

;

Рисунок 151

; .

Вал разбиваем на три участка. Крутящие моменты на участках

;

;

.

.

Условие прочности при кручении .

Вид расчета на прочность – проектный , т.е. , т.к. , то .

Ответ: d = 32 мм.

Пример 40

В поперечных сечениях стального вала (рисунок 152) возникает крутящий момент М_к = 2000 Н·м. Диаметр вала d = 65 мм, модуль сдвига G = 0,8 · 10⁵ Н/мм². Проверить прочность и жесткость вала, если допускаемое напряжение [τ_к] = 40 Н/мм², а допускаемый угол закручивания = 0,85 град/м.

Решение

Прочность вала проверяем по формуле (92)

Рисунок 152

,

где .

Прочность вала обеспечена.

Для проверки жесткости вычислим значение полярного момента инерции

.

Величину допускаемого угла закручивания переводим в радианы на 1 мм:

.

Подставив в формулу (93) значения J_р и , получим

.

Следовательно, в этом примере диаметр вала удовлетворяет и условию прочности, и условию жесткости.

Подумай и ответь на вопросы

83. Справедлив ли закон Гука при кручении, если напряжение не превышает предела пропорциональности материала при кручении?

1) Справедлив; 2) Не справедлив.

83. Вычислите полярный момент сопротивления сечения круглого сплошного вала d = 30 мм.

84. Укажите, для какой точки поперечного сечения (рисунок 152) можно вычислить напряжения по формуле .

1) Для точки А; 2) Для точки В; 3) Для точки О.

83. Во сколько раз напряжение в точке А (рисунок 152) меньше напряжения в точке В?

1) В четыре раза; 2) В два раза.

83. Зависит ли величина рабочих (расчетных) касательных напряжений от материала вала?

1) Зависит; 2) Не зависит.

83. Зависит ли угол поворота сечения вала от материала, из которого он изготовлен?

1) Зависит; 2) Не зависит.

83. Как изменится величина максимального напряжения вала в поперечных сечениях, если диаметр вала увеличить в два раза?

1) Уменьшится в два раза;

2) Уменьшится в четыре раза;

3) Уменьшится в восемь раз.

Реши самостоятельно!

83. Определить из условия прочности при [τ_к] = 40 Н/мм² требуемый диаметр вала, передающего мощность Р = 6 кВт при n = 100 об/мин.

84. Для передачи какой мощности при ω = 20 l/с рассчитан вал диаметром 30 мм, если [τ_к] = 40 Н/мм²?