Тема 2.5 Кручение

назад в содержание

1. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге

При чистом сдвиге (рисунок 143) на четырех гранях выделенного элемента возникают только одинаковые по величине касательные напряжения τ.

Я вление сдвига состоит в том, что под действием внешних сил горизонтальные площадки смещаются друг относительно друга на расстояние Δdх, называемое абсолютным сдвигом, а угол 90^о изменяется на величину γ, называемую углом сдвига.

Рисунок 143

В пределах упругости материала между углом сдвига γ и соответствующим касательным напряжением τ существует прямо пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при сдвиге

(86)

G [Н/мм²] – модуль сдвига, характеризует жесткость материала при сдвиге.

Для одного и того же материала между тремя упругими постоянными модулем сдвига G, модулем продольной упругости Е и коэффициентом Пуассона μ существует зависимость

.

Для стали G = 8 · 10⁴ Н/мм² (МПа).

2. Кручение. Крутящий момент. Построение эпюр

Кручением называется такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент М_к.

К ручение бруса вызывают скручивающие (вращающие) моменты М (или Т), действующие в плоскостях, перпендикулярных оси бруса (рисунок 144).

Брус, нагруженный вращающими моментами, называется валом.

Во всех машинах и механизмах имеются валы с укрепленными на них различными деталями: зубчатыми колесами, шкивами ременных передач, звездочками цепных передач и т.д., передающими вращающие моменты.

При равномерном вращении вала сумма вращающих моментов, действующих на вал, равна нулю .

Рисунок 144

При известных передаваемой мощности Р (Вт) и угловой скорости вала ω (рад/с) вращающий момент М (Н·м) можно определить по формуле

Если известна частота вращения вала n , то его угловая скорость

.

Для определения крутящего момента применяют метод сечений и рассматривают равновесие оставшейся части: ; , т.е. при

простом нагружении , при сложном нагружении

(87).

• Крутящий момент в сечении бруса равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от сечения.

Внешние моменты будем считать положительными, если они вращают оставшуюся часть по часовой стрелке, при этом смотреть надо на сечение оставшейся части со стороны отброшенной.

Если на брус действует несколько внешних (вращающих) моментов, то для определения опасного сечения или участка вала строят эпюры крутящих моментов М_к аналогично эпюрам продольных сил.

Пример 38. Построить эпюру крутящих моментов для вала (рисунок 145).

Дано: М₁ = 10 кН·м; М₂ = 35 кН·м; М₃ = 20 кН·м; М₄ = 5 кН·м.

В ал проще показывать схемой рисунка 145-б, что и будем делать в дальнейшем.

Решение

1. Разбиваем брус между моментами на четыре участка.

2. Нумеруем участки с любого конца с I по IV.

3. Для каждого участка, используя метод сечений, определяем крутящий момент

Определение М_к1 и М_к2 показано в таблице 15.

Рисунок 145

Таблица 15

Участок	Оставшаяся часть	Мк
I		Мк1 = М1 = 10 кН·м (смотрим справа)
II		Мк2 = М1 – М2 = 10 – 35 = -25 кН·м (смотрим справа)

М_к3 = М₁ – М₂ + М₃ = 10 – 35 + 20 = -5 кН·м;

М_к4 = М₁ – М₂ + М₃ + М₄ = 10 – 35 + 20 + 5 = 0.

4. Строим в масштабе эпюру М_к (рисунок 141-в).

5. Определяем наиболее нагруженный участок (без учета знака) – II, т.е. М_{к max} = 25 кН·м.

6. Проверка (устная):

Под внешним моментом на эпюре крутящих моментов будет вертикальный скачок, равный по величине этому моменту.

Подумай и ответь на вопросы

83. Можно ли считать, что алгебраическая сумма вращающих моментов равна нулю, если вал вращается с постоянной угловой скоростью?

1) Можно; 2) Нельзя.

83. Укажите какие участки вала (рисунок 146) скручиваются.

1) Все участки вала; 2) Только участок между шкивами.

Рисунок 146 Рисунок 147

83. На рисунке 147 показана эпюра крутящих моментов. Чему равно максимальное значение крутящего момента, по которому нужно рассчитывать вал на прочность?

1) 1000 Н·м; 2) 1500 Н·м; 3) 500 Н·м.

83. На эпюре крутящих моментов отмечены (рисунок 147) точки А, В, С, D, соответствующие сечениям вала, где установлены шкивы (колеса). Какая точка соответствует сечению, где установлен ведущий шкив, и чему равен вращающий момент, на этом шкиве?

    1. В сечении В; М_max = 1500 Н·м;

    2. В сечении С; М_max = 1500 Н·м;

    3. В сечении С; М_max = 2000 Н·м.

Реши самостоятельно!

83. По заданной эпюре крутящих моментов (рисунок 148) составить схему нагружения вала.

Рисунок 148