Тема 1.7 Кинематика
назад в содержание
Кинематика точки
Основные понятия кинематики
Кинематика – это раздел теоретической механики, изучающий движение тел без учета их масс и действующих сил.
Кинематика отвечает на вопросы: куда и как движется тело, где оно находится в данный момент времени.
Движение – форма существования материального мира, покой и равновесие – частные случаи движения.
Линия, по которой движется точка в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволинейное. Положение точки на траектории в каждый момент времени t определяется расстоянием S (дуговой координатой), т.е. длиной участка траектории, отсчитанной от начала отсчета. В зависимости от принятого направления оси расстояний оно может быть положительным и отрицательным: S > 0, S < 0.
Ч
тобы
знать, где находится точка (тело) в
пространстве, в каком направлении
движется, с какими скоростью и ускорением,
необходимо задать движение.
При естественном способе должны быть заданы:
Траектория движения (рисунок 82);
Начало отсчета О и положительное направление отсчета;
З
акон
движения S
= f(t)
Рисунок 82
Подумай и ответь на вопросы
Какую характеристику движения поездов можно определить по карте железнодорожных линий:
Путь, проходимый поездами?
Траектория движения поездов?
Расстояние между поездами?
Можно ли определить траекторию движения точки, если путь S, пройденный точкой, задан как функция времени t (например, S = 5·t2)?
Определение скорости и ускорения точки
Скорость
точки
- это векторная
величина, характеризующая быстроту и
направление движения (рисунок 83).
Б
ыстроту
движения характеризует модуль v
[м/с]. Часто скорость выражают в км/ч (36
км/ч = 36·103
м/3600 с = 10м/с) или в м/мин (120 м/мин = 120 м/60
с = 2 м/с).
В зависимости от скорости движение бывает: равномерным и неравномерным.
а)
При равномерном
движении
. Рисунок
83
Уравнение равномерного движения
S
= S0
+ v
·
t
или S
= v
·
t , (31)
где S0 – начальное расстояние, пройденное до начала отсчета времени (обычно S0=0).
Например:
S = 5t (v = 5 м/с).
б)
При неравномерном
движении
.
Если за промежуток времени Δt точка прошла путь ΔS, то ее средняя скорость
.
Чем меньше промежуток времени Δt, тем vср ближе истинной (мгновенной) скорости
.
И
стинная
скорость в любой момент времени равна
первой производной от расстояния по
времени 
(32)
Движение, в котором скорость с течением времени возрастает, называют ускоренным.
Движение, в котором скорость с течением времени убывает, - замедленным.
Вектор скорости в каждый момент времени направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
У
скорение
точки
- это векторная
величина, характеризующая быстроту
изменения скорости по величине и
направлению.
Модуль ускорения а [м/с2].
В
общем случае (рисунок 84) вектор полного
ускорения
составляет
с вектором скорости
некоторый
угол α. Вектор
раскладывают
на две перпендикулярные составляющие:
и
.
- касательное (тангенциальное) ускорение. Оно всегда направлено по касательной к траектории и появляется, когда у точки меняется величина скорости:
(33)
-
нормальное
ускорение. Оно всегда направлено по
нормали к центру кривизны траектории
и появляется, когда меняется направление
движения:
, (34)
где ρ – радиус кривизны траектории.
Если
векторы
и
направлены в одну сторону (рисунок
84), то движение будет ускоренным,
при этом величины v
и аt
имеют одинаковые знаки.
Рисунок 84
Если
векторы
и
направлены в разные стороны, то движение
замедленное
и знаки
и
разные.
Полное ускорение
(35)
Пример 15
Точка движется по окружности радиусом 10 м по закону S = 40·t – t3. Для момента времени t = 2 с определить расстояние, пройденное точкой, ее скорость и ускорение.
Решение
Дано неравномерное криволинейное движение точки.
Расстояние, пройденное точкой за 2 с
S = 40·t – t3 = 40·2 – 23 = 72 м.
Скорость точки
Ускорения точки
;
;
; 
,
так как v > 0, at < 0, то движение замедленное.
Полное ускорение точки для момента t = 2 с
.
Пример 16
Точка обода маховика в период разгона движется согласно уравнению S = 0,1·t3.
Решение
Задано неравномерное криволинейное движение точки. Для определения скорости вычислим производную от расстояния по времени
.
Откуда
.
Касательное ускорение
.
Откуда
.