Тема 1.6 Центр тяжести

назад в содержание

1. Центр тяжести тела

Сила тяжести G – одно из проявлений закона всемирного тяготения. Это сила, распределенная по всему объему тела, так как на каждую его частицу действует сила притяжения, направленная к центру Земли.

Но в этом случае угол между линиями действия сил тяжести двух точек, расположенных на расстоянии 10 м друг от друга, составляет всего . Поэтому силы тяжести безошибочно считаются параллельными.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести G, всех частиц тела.

Координаты центра тяжести тела находятся по формулам:

; ; (28)

где G_i – сила тяжести i-ой элементарной частицы;

Xi, Y_i, Z_i – координаты частицы.

Равнодействующая сил тяжести всех отдельных частиц тела является силой тяжести тела:

.

Модуль силы тяжести называют весом тела.

Через центр тяжести С проходит линия действия силы тяжести G при любом положении тела относительно поверхности земли (рисунок 76).

Если тело представляет собой однородную тонкую пластину постоянной толщины, имеющей очертание плоской фигуры, то ее центр тяжести называется центром тяжести площади плоской фигуры.

Рисунок 76

Пусть

Р – вес единицы площади;

А – площадь фигуры.

Тогда сила тяжести

; .

Формулы (28) будут иметь вид:

;

; (29)

В числителе выражений (29) – статические моменты площади относительно осей:

; Статический момент площади фигуры относительно оси равен произведению площади этой фигуры на координату ее центра

; тяжести.

; (30)

Если оси проходят через центр тяжести С плоской фигуры (центральные оси), то Х_С = 0, Y_С = 0, тогда S_Х = 0, S_Y = 0.

Статический момент фигуры относительно центральной оси равен нулю.

2. Положение центра тяжести простых фигур

Теорема

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести его лежит соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии.

Следствия

1. Центр тяжести площади однородного параллелограмма, прямоугольника, ромба лежит в точке пересечения его диагоналей.

2. Центры тяжести площадей правильного многоугольника, круга, кольца, эллипса и объема шара лежат в их геометрических центрах.

3. Центр тяжести площади треугольника (рисунок 77) лежит в точке пересечения медиан, на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

Площадь

а) б)

Рисунок 77

Центры тяжести сечений прокатных профилей (уголок, швеллер, двутавр) определяются по таблице ГОСТ (сортамент).

Обозначения профилей

Равнобокий уголок – bхbхd, например, уголок 20х20х4.

Неравнобокий уголок – Вхbхd, например, уголок 25х16х3.

Швеллер и двутавр - № …, например, № 10 (высота 10 см).

3. Методы нахождения центра тяжести

составных плоских фигур

Координатный метод

Метод симметрии

1. Если сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит в точке их пересечения.

2. Если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси и достаточно найти координату по этой оси.

Метод разбиения

1. Разбиваем составную фигуру на минимальное число простых частей.

2. Определяем площади А_i простых частей.

3. Выбираем дополнительные оси координат ( ).

4. Определяем координаты центров тяжести простых частей: X₁, Y₁, X₂, Y₂ и т.д. (измеряем их от начала координат О).

5. По формулам (29) вычисляем координаты центра тяжести всей фигуры.

Метод отрицательных площадей

Если фигура имеет вырезы, отверстия или пазы, то ее центр тяжести определяется по методу разбиения, но, дополнительно, площади вырезанных частей считаются отрицательными.

Пример 13. Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рисунок 78). Размеры даны в сантиметрах.

Решение

Разбиваем сечение на три простые части:

1 – прямоугольник;

2 – круг;

3 – треугольник.

Рисунок 78

Площади кругового и треугольного отверстий вводим в расчет со знаком минус, а площадь прямоугольника – без учета имеющихся в нем отверстий.

Площади простых фигур

А₁ = 12·31 = 372 см²;

; ,

где совпадающие с осью симметрии высота треугольника

.

Фигура имеет ось симметрии, следовательно, ее центр тяжести лежит на этой оси. Совмещаем координатную ось Х с осью симметрии, а начало координат – с левым краем фигуры (чтобы координаты центров тяжести оказались положительными).

Координаты центров тяжести простых фигур:

; ; ,

где см – расстояние от центра тяжести треугольника до его основания, равное высоты.

Координата центра тяжести заданной фигуры:

.

Пример 14. Определить положение центра тяжести сечения, составленного из двутавра № 22 и швеллера № 20, как показано на рисунке 79.

Решение

Известно, что номер профиля проката соответствует наибольшему габаритному размеру его сечения, выраженному в сантиметрах.

Так как сечение, составленное из двутавра и швеллера, представляет собой фигуру, симметричную относительно оси, то центр тяжести такого сечения лежит на этой оси, т.е. Х_С = 0. По справочнику определяем площади и координаты центров тяжести двутавра 1 и швеллера 2.

Для двутаврового сечения:

А₁ = 15,2 см²; Y₁ = = 11 см.

Д ля швеллерного сечения:

А₂ = 12 см²; Y₂ = 22 + d – Z₀ = 22 + 0,32 – 1,25 =

= 21,07 см,

где d – толщина стенки швеллера;

Z₀ – размер, определяющий положение центра тяжести швеллера.

Применим формулу для определения ординаты центра тяжести всего сечения:

.

Рисунок 79

Экспериментальные способы

Способ подвешивания

Если тело подвесить на нити, например, в точке А, то при равновесии центр тяжести обязательно займет положение на вертикали, проходящей через точку А.

С помощью отвеса CD (рисунок 80-а) отметим линию АА₁, на которой расположен центр тяжести.

Подвесим затем тело в другой точке, например, в точке В (рисунок 80-б) и аналогично получим линию ВВ₁, которая пересечением с линией АА₁ дает положение центра тяжести С. Для проверки можно подвесить тело в какой-либо третьей точке, отвесная линия пройдет через точку С – центр тяжести тела или пластины.

Способ взвешивания

Применяют для определения положения центра тяжести тел сложной формы (рисунок 81).

Рисунок 80 Рисунок 81

Например, колеса самолета устанавливают на весы, определяют показания величин реакций R₁, R₂, R₃, G = R₁ + R₂ + R₃ и составляют уравнение

R₃·Б – G·Х_С = 0.

где Б – база самолета, т.е. расстояние от главных колес до переднего (или заднего) колеса.

Отсюда абсцисса центра тяжести самолета:

.