1.7Доходность ссудных и учётных операций с удержанием комиссионных

За открытие кредита, учёт векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые повышают доходность операции, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере P выдана на срок n. При её выдаче удерживаются комиссионные. Величину комиссионных будем определять формулой Pg, где g — доля комиссионных в относительных единицах.

Простые проценты

Пусть для начала сделка предусматривает начисление простых процентов по ставке i. При определении доходности этой операции в виде годовой ставки сложных процентов i_э исходим из того, что наращение величины P–Pg по этой ставке должно дать тот же результат, что и наращение P по ставке i:

(P–Pg)(1+i_э)ⁿ=P(1+ni),

отсюда

. (1.77)

Предположим теперь, что необходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов. Имеем

(P–Pg)(1+ni_э)=P(1+ni), ,

. (1.78)

□ Пример 1.20. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых (проценты простые) кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных и простых процентов? (K=365).

Решение. Найдем эффективную годовую ставку сложных процентов

.

Эффективная ставка простых процентов составит

. ■

Сложные проценты

Если ссуда выдается под сложные проценты и доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то исходное уравнение для определения i_э имеет вид

(P–Pg)(1+i_э)ⁿ=P(1+i)ⁿ,

отсюда

. (1.79)

Учётные операции

Если доход извлекается из операции учёта по простой учётной ставке, а доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то балансовое уравнение имеет вид

(P–Sg)(1+i_э)ⁿ=S, S(1–nd–g)(1+i_э)ⁿ=S,

. (1.80)

□ Пример 1.21. Вексель учтен по ставке d=10% за 160 дней до его оплаты. При выполнении операции учёта с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Временная база учёта 360 дней. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов?

Решение. Эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов равна

. ■

1.8Налог на полученные проценты

В ряде стран проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму.

Простые проценты

Обозначим наращенную сумму до выплаты налогов через S, а с учётом выплаты как S. Пусть ставка налога на проценты равна g. В случае простых процентов налог равен

Ig=Pnig.

Найдем наращенную сумму S после выплаты налогов

S=S–(S–P)g=S(1–g)+Pg=P(1+ni)(1–g)+Pg=P+Pni(1–g)=P(1+ni(1–g)).

Итак, формула для нахождения наращенной суммы после выплаты налогов имеет вид

S=P(1+ni(1–g)). (1.81)

Таким образом, учёт налога сводится к сокращению процентной ставки: вместо ставки i фактически применяется ставка (1–g)i.

Сложные проценты

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные проценты возможны следующие варианты:

1. налог начисляется за весь срок сразу, то есть на всю сумму процентов;

2. сумма налога определяется за каждый истёкший год. Тогда ежегодная сумма налога будет величиной переменной, так как сумма процентов увеличивается во времени.

В первом случае сумма налога равна

Ig=P((1+i)ⁿ-1)g, (1.82)

а наращенная сумма после выплаты налога

S=S–(S–P)g=S(1–g)+Pg=P(1+i)ⁿ(1–g)+Pg=P((1+i)ⁿ(1–g)+g).

Итак, формула для нахождения наращенной суммы после выплаты налогов имеет вид

S=P((1+i)ⁿ(1–g)+g). (1.83)

Рассмотрим второй случай. Обозначим налог за год t как G_t. Тогда

G_t=(S_t–S_t–1)g=(P(1+i)^t–P(1+i)^t–1)g=Pig(1+i)^t–1.

За первый год налог составит G₁=Pig; за второй год — G₂=Pig(1+i); ...; за n-ый год — G_n=Pig(1+i)^n–1. Мы имеем возрастающую геометрическую прогрессию. Первый член прогрессии равен Pig, знаменатель равен 1+i. Сумма членов этой прогрессии равна налогу, выплаченному за n лет:

. (1.84)

Сравнивая формулы (1.82) и (1.84) приходим к выводу, что сумма налогов за весь срок не зависит от метода начисления.

□ Пример 1.22. Пусть ставка налога на проценты равна 2%. Процентная ставка — 8% годовых, срок начисления — три года. Первоначальная сумма ссуды 1 000 ден. ед. Определить наращенную сумму с учётом выплаты налога на проценты.

Решение. При начислении простых процентов за весь срок получим:

наращенная сумма без уплаты налогов равна

S=P(1+ni)=1 000(1+30,08)=1 240 ден. ед.,

с учётом его выплаты в конце срока:

S=P(1+ni(1–g))=1 000(1+30,080,98)=1 235,2 ден. ед.,

сумма налога:

G=S–S=1 240–1 235,2=4,8 ден. ед.

Начислим теперь сложные проценты. Рассмотрим случай, когда сумма налога определяется за каждый истекший год.

Наращенная сумма без уплаты налогов:

S=P(1+i)ⁿ=1 0001,08³=1 259,71 ден. ед.

Налог за t-ый год равен G_t=Pig(1+i)^t–1, тогда

за первый год — G₁=1 0000,080,021,08⁰=1,6 ден. ед.,

за второй год — G₂=1 0000,080,021,08=1,728 ден. ед.,

за третий год — G₃=1 0000,080,021,08²=1,86624 ден. ед.

Сумма налога G за три года равна 5,19 ден. ед. Наращенная сумма после выплаты налога составляет

S=S–G=1 259,71–5,19=1 254,52 ден. ед. ■