2.4Годовой аннуитет с начислением процентов m раз в году

Рассмотрим годовую ренту постнумерандо. Проценты начисляются m раз в году. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке)

R, , , …, ,

где j — номинальная ставка процентов.

Мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — , число членов — n. Сумма членов этой прогрессии равна наращенной сумме аннуитета.

. (2.16)

Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета составит:

. (2.17)

Найдём современную стоимость аннуитета постнумерандо

(2.18)

Современная стоимость аннуитета пренумерандо:

. (2.19)

Зависимость между наращенной суммой и современной стоимостью аннуитета постнумерандо следующая

. (2.20)

2.5p-срочная рента

2.5.1Формулы наращенной суммы

p-срочная рента, m=1

Найдём наращенную сумму S p-срочной ренты постнумерандо при начислении процентов один раз в году. Общее число членов ренты равно np. Ряд членов ренты с начисленными процентами, записанный в обратном порядке, представляет собой геометрическую прогрессию. Первый её член равен R/p, а знаменатель — (1+i)^1/^p. В результате получаем наращенную сумму:

, (2.21)

где

(2.22)

— коэффициент наращения p-срочной ренты при m=1.

Для ренты пренумерандо наращенная сумма аннуитета составит:

S=S(1+i)^1/^p. (2.23)

p-срочная рента, p1, m1

Это общий случай, когда рентные платежи R/p вносятся p раз в году с начислением процентов m раз в году при условии pm. Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

Второй член ренты к концу срока возрастёт до

и т. д. На последний взнос проценты не начисляются: S_np=R/p. Наращенная сумма S аннуитета находится по формуле суммы первых np членов геометрической прогрессии:

. (2.24)