1.2.2Сложные учётные ставки

Наращение по сложной учётной ставке

Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу начисления простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле

,

во втором периоде она будет равна

,

и так далее, в n-ом периоде

, (1.23)

где d — учётная ставка сложных процентов; n — число лет. Формула (1.23) называется формулой наращения по сложным антисипативным процентам (формулой сложных антисипативных процентов). Множитель в формуле (1.23) является коэффициентом наращения.

Номинальная учётная ставка процентов

В тех случаях, когда начисление сложных антисипативных процентов производят m раз в году, используют номинальную учётную ставку f. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке f/m, и наращенная сумма определяется по формуле

, (1.24)

где, N=mn — число периодов начисления, n — число лет.

□ Пример 1.7. Срочный вклад в размере 800 ден. ед. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учётной ставке d=15% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Наращенная сумма составит

ден. ед.

Если наращение по учётной ставке производить не один, а два раза в год (m=2), то наращенная сумма будет равна:

ден. ед. ■

1.2.3Непрерывные проценты

Наращение по непрерывной процентной ставке

Начисление процентов на первоначальный капитал может производиться так часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный. При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма определяется по формуле

.

Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Рассмотрим предел S при m, тогда наращенная сумма будет равна

.

Используя второй замечательный предел, получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид

S=Pe^jn. (1.25)

Множитель e^jn в формуле (1.25) является коэффициентом наращения при непрерывной капитализации процентов. Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, её называют силой роста и обозначают :

S=Pe^n. (1.26)

Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при m.

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой, благодаря которой можно осуществлять переход от расчёта непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие коэффициенты наращения:

(1+i)ⁿ=e^n. (1.27)

Из равенства (1.27) следует, что

=ln(1+i). (1.28)

i=e^–1. (1.29)

□ Пример 1.8. На первоначальный капитал в сумме 500 ден. ед. начисляются сложные проценты — 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Решение. Найдем сначала силу роста , а потом наращенную сумму S:

=ln(1+i)=ln 1,08=0,076961.

S=Pe^n=500e^0,0769614=680,24 ден. ед. ■

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные проценты применяются крайне редко. Они имеют теоретическое значение, используются в анализе сложных финансовых проблем при обосновании и выборе инвестиционных проектов.