3.2Займы с погашением в несколько сроков

Контур финансовой операции

Контур финансовой операции — это графическое изображение процесса погашения краткосрочной задолженности частичными (промежуточными) платежами. Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике, представленном на рис. 3.1.

П усть ссуда в размере D₀ выдана на срок t. На протяжении этого срока в счёт погашения задолженности производятся два промежуточных платежа Y₁ и Y₂, а в конце срока выплачивается остаток задолженности Y₃, подводящий баланс операции.

На интервале времени t₁ задолженность возрастает до величины D₁. В момент t₁ долг уменьшается до величины K₁=D₁–Y₁ и т. д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности Y₃. В этот момент задолженность полностью погашается.

График такого типа называют контуром финансовой операции. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т. е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности частичными промежуточными платежами.

С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчёта процентов и определения остатка задолженности. Это актуарный метод, он применяется в операциях со сроком более года. Другой метод назван правилом торговца, или коммерческим правилом. Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года.

Следует отметить, что при начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближённым числом дней временных периодов.

Актуарный метод

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платёж идёт в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идёт на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т. д. Если же частичный платёж меньше начисленных процентов, то никакие зачёты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Для случая, показанного на рис. 3.1., получим следующие расчётные формулы для определения остатка задолженности:

K₁=D₀(1+t₁i)–Y₁; K₂=K₁(1+t₂i)–Y₂; K₂(1+t₃i)–Y₃=0, (3.6)

где t₁, t₂, t₃ — периоды времени, заданные в годах; i — годовая процентная ставка.

Правило торговца

Правило торговца является другим подходом к расчёту частичных платежей. Здесь возможны две ситуации:

1. Если срок ссуды не превышает года, то сумма долга с начисленными за весь срок процентами остаётся неизменной до полного погашения. Одновременно идёт накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами.

2. В случае, когда срок ссуды превышает год, указанные ранее расчёты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

При общем сроке ссуды t1 можно записать следующее выражение:

, (3.7)

где S — остаток долга на конец срока; D — наращенная сумма долга; K — наращенная сумма платежей; R_j — сумма частичного платежа; t_j — интервал времени от момента платежа до конца срока; m — число частичных платежей; P — ссуда банка.

□ Пример 3.3. Кредит размером 30 тыс. ден. ед. выдан банком 15 марта на срок 1 год. На протяжении этого срока в счёт погашения задолженности производятся платежи в банк: 15 июня в размере 5 тыс. ден. ед., 15 сентября в размере 1 тыс. ден. ед., 15 декабря в размере 9 тыс. ден. ед. На кредит банк предусматривает начисление простых процентов по ставке 22% годовых. Рассчитать контур финансовой операции для актуарного метода и метода торговца и определить размер погасительного платежа в обоих случаях.

Решение. Вычислим размер погасительного платежа актуарным методом.

15 марта долг банку составил

D₀=30 тыс. ден. ед.

15 июня долг с процентами составит

тыс. ден. ед.

В банк поступит Y₁=5 тыс. ден. ед, что больше начисленных процентов, поэтому вычитаем из долга 5 тыс. ден. ед. 15 июня остаток долга составит

K₁=31,65–5=26,65 тыс. ден. ед.

15 сентября долг с процентами составит

тыс. ден. ед.

В банк поступило Y₂=1 тыс. ден. ед, что меньше начисленных процентов, поэтому этот платёж присоединяем к платежу 15 декабря.

15 декабря долг с процентами составит

тыс. ден. ед.

В банк поступило Y₃=9 тыс. ден. ед., что больше начисленных процентов, поэтому вычитаем из долга (1+9) тыс. ден. ед. 15 декабря остаток долга составит

K₂=29,5815–10=19,5815 тыс. ден. ед.

15 марта долг с процентами составит

тыс. ден. ед.

Таким образом, размер последнего погасительного платежа равен Y₄=20,65848 тыс. ден. ед.

Вычислим размер погасительного платежа методом торговца:

тыс ден. ед.

Сравнивая результаты, замечаем, что для банка выгоден расчёт по актуарному методу, для клиента — по методу торговца. ■

Погашение долга равными ежегодными платежами

Рассмотрим третий случай, когда долг погашается в несколько сроков. В кредитном контракте может быть оговорено условие — производить погашение основного долга равными ежегодными платежами. В этом случае размеры платежей по основному долгу будут равны:

R=R₁=R₂=…=R_n=D/n. (3.8)

Остаток основного долга D_k в начале k-ого расчётного периода определяется как

D_k=D–R(k–1). (3.9)

Величина срочной уплаты в каждом расчётном периоде равна

. (3.10)

Величина процентного платежа для k-ого расчётного периода определяется по формуле

I_k=D_kg=(D–R(k–1))g. (3.11)

Этот метод погашения займа называется методом прямолинейного возвращения капитала.

□ Пример 3.4. Кредит размером 30 тыс. ден. ед. выдан на 5 лет под 5% годовых. По условиям контракта погашение основного долга должно производиться равными платежами, начисление процентов — в конце года. Составить план погашения кредита.

Решение. R=30/5=6 тыс. ден. ед. — годовая уплата основного долга. Годовые срочные уплаты

Y₁=6+(30–60)0,05=7,5 тыс. ден. ед.

Y₂=6+(30–61)0,05=7,2 тыс. ден. ед.

Y₃=6+(30–62)0,05=6,9 тыс. ден. ед.

Y₄=6+(30–63)0,05=6,6 тыс. ден. ед.

Y₅=6+(30–64)0,05=6,3 тыс. ден. ед.

План погашения долга представим в табличной форме.

План погашения долга

■

Погашение долга равными срочными уплатами

Первый этап разработки плана погашения — определение размера срочной уплаты. Далее эта величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После этого легко найти остаток задолженности на любой промежуток времени.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с параметрами: D, R=Y, g. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим размер срочной уплаты:

. (3.12)

Аннуитет Y содержит выплату основного долга и процентный платёж на остаток займа. Остаток долга уменьшается с каждой выплатой. Поэтому можно сделать вывод, что процентные платежи уменьшаются, а величина выплат основного долга увеличивается из периода в период.

Рассмотрим взаимосвязь между двумя выплатами займа. Если взять какие-либо два следующих друг за другом расчётных периодов k и (k+1), и если D_k–1 — остаток долга в начале k-ого периода, d_k и d_k+1 — выплаты k-ого и (k+1)-ого периодов, то можно записать:

Y=D_k–1g+d_k,

Y=(D_k–1–d_k)g+d_k+1.

Отсюда

D_k–1g+d_k=(D_k–1–d_k)g+d_k+1.

Из последнего выражения находим, что

d_k+1=d_k(1+g). (3.13)

Следовательно, выплаты образуют геометрическую прогрессию, и (k+1)-ая выплата будет равна

d_k+1=d₁(1+g)^k. (3.14)

Таким образом, если заём погашается одинаковыми аннуитетами, выплаты растут в геометрической прогрессии.

Платежи по погашению долга образуют ряд:

d₁, d₁(1+g), …, d₁(1+g)^n–1.

Использовав этот ряд, легко определить сумму погашенной задолженности на конец года t (после очередной выплаты):

. (3.15)

□ Пример 3.5. Кредит размером 30 тыс. ден. ед. выдан на 5 лет под 5% годовых. По условиям контракта погашение основного долга производится равными срочными уплатами. Составить план погашения кредита.

Решение. Находим . Размер срочной уплаты составит:

тыс. ден. ед.

Первый платёж по погашению долга равен

d₁=Y–Dg=6,92924–300,05=5,42924 тыс. ден. ед.

План погашения долга

■

Погашение займа переменными выплатами основного долга

Рассмотрим случай, когда выплаты изменяются в геометрической прогрессии. Одним из вариантов погашения кредитной задолженности может быть такой, при котором погашение основного долга должно производиться платежами, каждый из которых больше или меньше предыдущего в q раз. Таким образом, эти платежи будут являться членами возрастающей или убывающей геометрической прогрессии. Члены этой прогрессии будут иметь вид:

R₁, R₁q, R₁q², …, R₁q^n–1.

Величина основного долга является суммой этих членов и определяется по формуле геометрической прогрессии, где R₁ — первый член прогрессии и одновременно первый платёж основного долга, а q — знаменатель прогрессии. Тогда основной долг D равен

.

Решив это уравнение относительно R₁, получим

. (3.16)

□ Пример 3.6. Кредит в размере 300 тыс. ден. ед. должен быть погашен в течение 6 лет ежегодными выплатами. Процентная ставка 15% годовых, начисление процентов один раз в конце года. Платежи, обеспечивающие погашение основного долга, должны увеличиваться в геометрической прогрессии на 5% ежегодно. Составить план погашения кредита.

Решение. По условию примера: D=300 тыс. ден. ед., n=6 лет, i=15%, q=1,05. Определим величину первого платежа:

тыс. ден. ед.

План погашения кредита

■

Самостоятельно рассмотреть случай, когда выплаты изменяются в арифметической прогрессии и решить следующую задачу:

Кредит размером 400 тыс. ден. ед. выдан на 5 лет под 15% годовых с начислением процентов в конце каждого года. Выплаты основного долга должны возрастать ежегодно на 10 тыс. ден. ед. Составьте план погашения кредита.