2.10Консолидация рент

Консолидация рент — объединение нескольких рент в одну, основанное на принципе финансовой эквивалентности. Современная величина вновь образованной консолидированной ренты A должна быть равна сумме современных величин объединяемых рент A_k, . Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и p-срочными и т. д.

Если объединяются годовые ренты, то легко можно найти размер годового платежа объединённого аннуитета из равенств

; .

Отсюда размер годового платежа объединённого аннуитета равен

. (2.53)

Рассмотрим консолидацию рент на примере.

□ Пример 2.10. Объединяются три аннуитета с параметрами

R₁=1 000 ден. ед.; n₁=10 лет; i₁=6%;

R₂=500 ден. ед.; n₂=8 лет; i₂=5%;

R₃=2 000 ден. ед.; n₃=12 лет; i₃=5%.

Требуется заменить эти три ренты аннуитетом с параметрами n=10 лет; i=6%. Определить размер годового платежа.

Решение. Находим современные стоимости A₁, A₂, A₃ трёх рент:

ден. ед.

ден. ед.

ден. ед.

Современная стоимость A объединённого аннуитета:

A=A₁+A₂+A₃=28318,1968 ден. ед.

Теперь найдём размер годового платежа объединённого аннуитета

R=28318,1968/PVIFA_6%;10=28318,1968/7,3600871=3847,5356 ден. ед. ■

3Методы погашения долгов

Любой вид долгосрочного долга будем называть займом. Существует следующая классификация займов.

1. Займы без обязательного погашения. Взятая в долг сумма не возвращается, но проценты по займу выплачиваются неограниченное долгое время. Такой вид займа описывает механизм вечной ренты. Величина годового платежа

R=Ai.

2. Займы с обязательным погашением в один срок. Основная сумма долга выплачивается разовым платежом. Проценты кредитору могут выплачиваться разными способами.

3. Займы с погашением в несколько сроков.

3.1Займы с обязательным погашением в один срок

Начисление простых процентов

Рассмотрим второй вид займов. Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга D в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погасительного фонда. Ежегодно в погасительный фонд вносится сумма R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g (проценты простые). В этом случае срочная уплата составит

Y=Dg+R. (3.1)

Поскольку фонд должен быть накоплен за n лет, соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, i, n. Допустим, что речь идёт о ренте постнумерандо. Тогда срочная уплата равна

, (3.2)

то есть в фонд систематически вносится сумма, равная

. (3.3)

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:

. (3.4)

□ Пример 3.1. Долг в сумме 100 тыс. ден. ед. выдан на 5 лет под 4% годовых. Для его погашения создаётся погасительный фонд. На инвестируемые в нём средства начисляются проценты по ставке i=5%. Разработать план погашения долга.

Решение. Пусть фонд формируется пять лет, взносы производятся в конце года равными суммами. D=100 тыс. ден. ед.; n=5 лет; g=4%; i=5%. Находим срочную уплату

тыс. ден. ед.

Годовой платёж в погасительный фонд R=18,09748 тыс. ден. ед.

Накопления на конец года в погасительном фонде

S₁=R=18,09748 тыс. ден. ед.

S₂=18,097481,05+18,09748=37,09983 тыс. ден. ед.

S₃=37,099831,05+18,09748=57,05231 тыс. ден. ед.

S₄=57,052301,05+18,09748=78,00240 тыс. ден. ед.

S₅=78,002401,05+18,09748=100,00000 тыс. ден. ед.

План погашения долга

■

Начисление сложных процентов

Рассматриваем по-прежнему второй вид займов. Изменим немного условие. Ежегодно в погасительный фонд вносится сумма R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g (проценты сложные). В этом случае срочная уплата составит

Y_k=D(1+g)^k–1g+R, k=1, 2, …, n. (3.5)

Здесь I_k=D(1+g)^k–1g (k=1, 2, …, n) — процентный платёж, вычисленный по сложным процентам,  — ежегодные взносы в погасительный фонд.

□ Пример 3.2. Фирма получила кредит 50 тыс. ден. ед. на 4 года под 8% сложных годовых в банке A. Кредитный контракт предусматривает погашение долга разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать погасительный фонд, для чего открыла счёт в банке B. На размещённые средства банк B начисляет 10% годовых. Определить ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы.

Решение. Параметры финансовой операции: D=50 тыс. ден. ед., g=8%, i=10%, n=4 года. Взносы в погасительный фонд составят:

тыс. ден. ед.

Рассчитаем выплаты процентных платежей по годам

I₁=50(1+0,08)^1-10,08=4,00000 тыс. ден. ед.

I₂=50(1+0,08)^2-10,08=4,32000 тыс. ден. ед.

I₃=50(1+0,08)^3-10,08=4,66560 тыс. ден. ед.

I₄=50(1+0,08)^4-10,08=5,03885 тыс. ден. ед.

Накопления на конец года в погасительном фонде

S₁=R=10,77354 тыс. ден. ед.

S₂=10,773541,1+10,77354=22,62443 тыс. ден. ед.

S₃=22,624431,1+10,77354=35,66042 тыс. ден. ед.

S₄=35,660421,1+10,77354=50,00000 тыс. ден. ед.

План погашения кредита

В рассматриваемом примере фирма Заёмщик сумела с выгодой для себя реализовать кредитную операцию, так как она на взносы в погасительный фонд получила проценты более высокие, чем платила по займу (i>g). В результате общая сумма расходов по погашению долга составила 61,11861 тыс. ден. ед., что значительно меньше, чем, если бы фирма погасила долг разовым платежом:

D=501,08⁴–61,11861=68,02445–61,11861=6,90584 тыс. ден. ед.

Создание погасительного фонда выгодно даже в том случае, если i<g. Предположим, что процентная ставка на взносы в погасительный фонд i=6%. Остальные параметры финансовой операции такие же, тогда расходы по амортизации займа составят 63,74275 тыс. ден. ед.

D=501,08⁴–63,74275=68,02445–63,74275=4,28170 тыс. ден. ед. ■