1.3.2Дисконтирование по сложным процентным и учётным ставкам
Математическое дисконтирование
Современная величина P суммы S находится в случае сложной процентной ставки по формуле
, (1.34)
где
PVIFi,n=(1+i)–n (1.35)
— коэффициент дисконтирования. Значения этого коэффициента табулированы (см. Приложение 2). Величина дисконта
D=S–P=S(1–(1+i)–n). (1.36)
При начислении процентов m раз в году используется номинальная ставка. Расчёт дисконтированной величины производится по формуле
, (1.37)
где
(1.38)
— коэффициент дисконтирования. Его значение можно найти, используя Приложение 2. Величина дисконта
. (1.39)
□ Пример 1.12. Определить современную стоимость 20 тыс. ден. ед., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по 8% годовых: а) ежегодно; б) ежеквартально.
Решение. а) Если начисление процентов производилось 1 раз в конце года, то современная величина 20 тысяч составляет:
P=20(1+0,08)–4=200,7350=14,70 тыс. ден. ед.
б) Если же начисление процентов производилось ежеквартально, то
тыс. ден. ед. ■
Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле
P=Se–n. (1.40)
Множитель e–n в формуле (1.46) является коэффициентом дисконтирования. Величина дисконта
D=S–P=S(1–e–n) (1.41)
Банковское дисконтирование
В учётных операциях широко применяется сложная учётная ставка. В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле
P=S(1–d)n (1.42)
Множитель (1–d)n в формуле (1.48) является коэффициентом дисконтирования. Дисконт вычисляется как разность
D=S–P=S(1–(1–d)n). (1.43)
При дисконтировании m раз в году используется номинальная учётная ставка. Расчёт дисконтированной величины производится по формуле
. (1.44)
Множитель
в формуле (1.48) является коэффициентом
дисконтирования. Дисконт равен
. (1.45)
□ Пример 1.13. Долговое обязательство на сумму 6 тыс. ден. ед. со сроком погашения через 2 года было передано в банк для учёта. Дисконтирование производилось по ставке f=9% при m=4. Определить величину дисконта.
Решение. На руки владелец обязательства получит сумму
тыс. ден. ед.
Величина дисконта
D=S–P=0,9987 тыс. ден ед. ■
1.4Расчёт срока ссуды и процентных ставок
1.4.1Определение продолжительности ссуды
В ряде практических задач требуется найти временной интервала, за который исходная сумма P при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины S, или определить срок, обеспечивающий определённый дисконт D с заданной величиной. Рассмотрим задачу расчёта срока ссуды для различных ставок.
При наращивании по простой ставке i из формулы наращения (1.3) получаем:
. (1.46)
При наращивании по сложной годовой ставке i из формулы наращения (1.11) следует, что срок ссуды рассчитывается по формуле
. (1.47)
При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы (1.19) получаем:
. (1.48)
При наращивании по постоянной силе роста из формулы (1.26) получаем:
. (1.49)
При дисконтировании по простой учётной ставке d из формулы (1.31) имеем
. (1.50)
Выражения (1.46) и (1.50) определяют временной срок, измеряемый в годах. Учитывая, что простые ставки используются в основном в краткосрочных операциях, найдём срок финансовой операции в днях:
t=nK, (1.51)
где K — временная база.
При дисконтировании по сложной годовой учётной ставке d из формулы (1.42) имеем
. (1.52)
При дисконтировании по номинальной учётной ставке m раз в году из формулы (1.44) получаем:
. (1.53)