1.1Простые проценты

1.1.1Простые процентные ставки

Наращение по простым процентам

Простыми называются ставки процентов, которые применяются к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды. Величина процентной ставки определяется как

i=I_г/P, (1.2)

где I_г — сумма процентов за год, P — сумма капитала, предоставляемого в кредит, i — процентная ставка, выраженная десятичной дробью. При простых процентах доход (interest) за n лет составит

I=nI_г=niP.

Тогда наращенная сумма будет определяться следующей формулой:

S=P+I=P+niP,

или

S=P(1+ni). (1.3)

Формула (1.3) называется формулой наращения по простым процентам (формулой простых процентов). Множитель (1+ni) в формуле (1.3) является коэффициентом наращения.

Если срок финансовой сделки не равен целому числу лет, то период начисления равен отношению числа дней t функционирования сделки к числу дней в году K (временной базе), то есть

n=t/K. (1.4)

В этом случае формула простых процентов примет вид

. (1.5)

Начисление простых процентов

Обычно к наращению по простым процентам прибегают: а) при выдаче краткосрочных ссуд (заключении краткосрочных контрактов и т. п.) на срок до одного года; б) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. На практике применяются три варианта расчёта простых процентов.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/365, правило ACT/365¹, «английская практика»). Продолжительность года K (временная база) равна точному числу дней в году: 365 или 366. Точное число дней ссуды t определяется путём подсчёта числа дней между датой выдачи ссуды и датой её погашения. Для подсчёта числа дней можно воспользоваться Приложением 1 «Порядковые номера дней в году».

2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/360, банковское правило, правило ACT/365, «французская практика»). Величина t рассчитывается как в предыдущем случае, а временная база принимается равной K=360 дням (все месяцы считаются равными, содержащими по 30 дней).

3. Обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды (схема 360/360, правило 30/360, «германская практика»). В этом случае год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом, и временная база K=360 дням.

При точном и приближённом методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимают за 1 день.

□ Пример 1.1. Банк выдал кредит 50 тыс. ден. ед. 15 января. Срок возврата кредита 12 сентября. Процентная ставка установлена в размере 10  годовых. Год невисокосный. Определить сумму долга, подлежащую возврату.

Решение. Наращенную сумму долга S, подлежащую возврату, рассчитаем тремя методами.

1. По формуле точных процентов с точным числом дней ссуды.

Точное число дней ссуды определим по таблице (Приложение 1). Порядковый номер 15 января — 15, порядковый номер 12 сентября — 255. Точное число дней ссуды t=255–15=240 дней.

тыс. ден. ед.

2. По формуле обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды.

тыс. ден. ед.

3. По формуле обыкновенных процентов с приближённым числом дней ссуды.

Приближённое число дней ссуды: с 15 января по 15 августа — 307 дней, с 16 августа по 12 сентября — 27 дней.

t=307+27=237 дней.

тыс. ден. ед. ■

Переменные ставки простых процентов

Процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае наращенная сумма на конец срока определяется следующим образом:

, (1.6)

где P — первоначальная сумма; i_t — ставка простых процентов в периоде с номером ; n_t — продолжительность периода начисления по ставке i_t.

□ Пример 1.2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — ставка 10%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Определить коэффициент наращения за два года.

Решение. Находим коэффициент наращения

. ■

Реинвестирование по простым процентам

В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты прибегают к начислению процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, то есть происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием процентного дохода. В этом случае наращенная сумма определяется по формуле

, (1.7)

где n_t — продолжительности последовательных периодов реинвестирования; i_t —ставка, по которой производится реинвестирование в периоде с номером .

□ Пример 1.3. 200 ден. ед. положены 1 марта на месячный депозит под 12% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?

Решение. Наращенную сумму долга S, подлежащую возврату, рассчитаем тремя методами.

1. По формуле точных процентов с точным числом дней ссуды.

ден. ед.

2. По формуле обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды.

ден. ед.

3. По формуле обыкновенных процентов с приближённым числом дней ссуды.

ден. ед.

Если операция реинвестирования не проводилась, и проценты начислялись ежемесячно, то наращенная сумма долга S равна

1. по формуле точных процентов с точным числом дней ссуды:

ден. ед.

2. по формуле обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:

ден. ед.

3. по формуле обыкновенных процентов с приближённым числом дней ссуды:

ден. ед.

Таким образом, операция реинвестирования выгодна вкладчику. ■