1.9 Расчёт наращенных сумм в условиях инфляции
В экономической теории инфляция определяется как повышение общего уровня цен (Макконнелл К. Р., Брю С. П. Экономикс. — М., 1999. — С. 11). Следствием инфляции является падение покупательской способности денег. Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют того, чтобы они учитывались в финансовых расчётах.
Пусть за рассматриваемый промежуток времени стоимость потребительской корзины возросла с величины S до S1 ден. ед., тогда стоимость потребительской корзины изменилась на величину
S=S1–S.
Величина
называется уровнем инфляции. Он
показывает, на сколько процентов выросли
цены за рассматриваемый промежуток
времени. Величина
,
характеризующая прирост цен за
рассматриваемый период времени,
называется темпом инфляции. Тогда
.
Величина
называется индексом цен. Индекс цен
показывает, во сколько раз выросли цены
за указанный промежуток времени.
Пусть t (t=1, 2, …, n) — годовой темп инфляции и пусть имеется некоторая сумма S. Для того чтобы сохранилась покупательская способность, сумма S должна через один год составлять
S1=S(1+1),
через два года
S2=S1(1+2)=S(1+1)(1+2),
и так далее. Через n лет сумма S возрастёт до величины
. (1.85)
За рассматриваемый период (n лет) индекс цен составил
, (1.86)
а при неизменном темпе инфляции
Ip=(1+)n. (1.87)
Таким образом, инфляционный рост цен подчиняется закону сложного процента.
□ Пример 1.23. Цены за каждый месяц растут на 8%. Найдите годовой уровень инфляции.
Решение. По условию месячный темп инфляции =0,08, тогда индекс цен за год
Ip=(1+)n=1,08122,5182,
но
Ip=1+1,
где 1 — темп инфляции за год. Следовательно, 1=1,5182 и годовой уровень инфляции составляет 151,82%. ■
□ Пример 1.24. Цены за январь выросли на 8%, за февраль — на 6% и за март — на 5%. Найдите уровень и темп инфляции за первый квартал.
Решение. Индекс цен за три месяца равен
Ip=1,081,061,05=1,20204,
темп инфляции за три месяца равен =0,20204, а уровень инфляции составит 20,204%. ■
1.9.1Начисление по простым процентам
Если наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен равен Ip, то реально наращенная сумма денег с учётом их покупательной способности составляет
C=S/Ip. (1.88)
Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции составит
C=P(1+ni)/Ip, (1.89)
где индекс цен вычисляется по формуле (1.86) или (1.87). Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна (при C=P)
i=(Ip–1)/n. (1.90)
Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой.
Пусть i — безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции; i — брутто-ставка, которая учитывает инфляцию. Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за n лет составит
S=P(1+ni).
С другой стороны,
S=CIp=P(1+ni)Ip,
отсюда
1+ni=(1+ni)Ip (1.91)
и
. (1.92)
1.9.2Начисление по сложным процентам
Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учётом падения покупательской способности денег составит
C=P(1+i)n/Ip, (1.93)
где индекс цен определяется выражением (1.86) или (1.87) в зависимости от темпа инфляции. В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i=, обеспечивающей равенство C=P.
Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности при начислении сложных процентов.
Корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии.
Индексация первоначальной суммы P.
Рассмотрим первый способ. Пусть i — безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции; i — брутто-ставка. Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за год составит
S=P(1+i).
С другой стороны
S=CIp=P(1+i)(1+),
отсюда
1+i=(1+i)(1+) (1.94)
и
i=i++i. (1.95)
Формула (1.95) называется формулой Фишера.
Годовую ставку i, чтобы учесть инфляцию, нужно увеличить на величину +i. Эта величина называется инфляционной премией.
Выводы:
если ставка сложных процентов, в которую вложена инфляция, равна темпу инфляции i=, то реальная доходность операции равна 0;
если i<, то i<0, финансовая операция убыточна;
если i>, то i>0, финансовая операция приносит реальный доход.
□ Пример 1.25. Кредит в 10 000 ден. ед. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (проценты сложные). Расчётный уровень инфляции 16% в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.
Решение. Найдем годовую ставку процентов, учитывающую инфляцию
i=i++i=0,11+0,16+0,110,16=0,2876.
Наращенная сумма равна
S=10 000(1+0,2876)2=16 579 (ден. ед.). ■
При втором способе компенсации потерь первоначальная сумма P корректируется согласно движению заранее оговорённого индекса. Тогда получаем:
S=PIp(1+i)n, (1.96)
или
P(1+i)n=PIp(1+i)n.
Отсюда ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию
. (1.97)
□ Пример 1.26. Кредит 12 000 ден. ед. выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% годовых по ставке сложных процентов.
Решение. Нам нужно найти ставку сложных процентов, учитывающую инфляцию
.
Наращенная сумма долга составит
S=12 000(1+0,4567)3=37 093,0 ден.ед. ■
Найдём номинальную ставку сложных процентов, учитывающую инфляцию
, (1.98)
выполнив преобразования, получим
. (1.99)