8Актуарные расчёты

Слово актуарий означает специалиста по страхованию. Актуарные расчёты — система математических и статистических исчислений, применяемых в страховании. Ознакомимся с терминологией, применяемой в страховом деле. Страховщик — специализированная организация, проводящая страхование. Страхователь — физическое или юридическое лицо, уплачивающее страховые взносы и вступающее в конкретные страховые отношения со страховщиком. Объекты и предметы страхования — подлежащие страхованию материальные ценности, а в личном страховании — жизнь, здоровье и трудоспособность страхователя. Страховая сумма — сумма денежных средств, на которую фактически застрахованы имущество, жизнь, здоровье. Страховой тариф — процентная ставка от совокупной страховой суммы. Она служит основой для формирования страхового фонда.

Тарифом называется также брутто-ставка, состоящая из нетто-ставки, предназначенной для выплат страховых сумм, и нагрузки к нетто-ставке, необходимой для покрытия накладных расходов страховщика, связанных с проведением страхования. Принцип определения нетто-ставки постоянен, а структура нагрузки меняется и, следовательно, брутто-ставка может принимать различные значения.

8.1Построение единовременных нетто-ставок по страхованию жизни и на случай смерти

Условия страхования жизни обычно предусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного лица до окончания срока действия договора страхования или в случае его смерти в течение этого срока.

Для начисления страхового фонда необходимо располагать сведениями о том, сколько лиц из числа застрахованных доживет до окончания срока действия их договора страхования и сколько из них каждый год может умереть.

Продолжительность жизни определенных людей является случайной величиной и колеблется в достаточно широких пределах. Демографической статистикой определена зависимость смертности от возраста людей. Эта зависимость представлена в таблицах смертности. Таблицы смертности показывают, как постепенно уменьшается с увеличением возраста поколение одновременно родившихся (условно принятое за 100000). Таблицы смертности рассчитываются на основе данных переписи населения.

Возраст человека обозначен символом x, а число лиц доживающих до каждого возраста l_x. Число умирающих при переходе от возраста x к возрасту x+1 обозначено символом d_x.

Наряду с абсолютным показателем в таблице используется и относительный показатель q_x — показатель возможности умереть в возрасте x лет, не дожив до возраста x+1 лет.

. (8.1)

□ Пример 8.1. Из 100000 родившихся женщин до 50 лет (x=50) доживают 90792 человек (l_x=90792); до 51 года не доживают 459 человек (d_x=459), вероятность умереть в возрасте 50 лет у женщин

. ■

Используя таблицу смертности, страховщик может определить величину страхового фонда, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм.

□ Пример 8.2. Страховщик заключил договор на страхование жизни с мужчиной 30-летнего возраста на 5 лет. По таблицам смертности находим

l₃₀=92216, l₃₅=90275.

Согласно таблице смертности до возраста 35 лет доживет 90275 человек из 92216. Следовательно, и число выплат будет 90275. Предположим, что страховая сумма каждого договора составляла 5 тыс. ден. ед., тогда, чтобы обеспечить все выплаты, необходим страховой фонд в размере 90275·5=451375 тыс. ден. ед. Страховщик предполагает всю сумму страховых взносов инвестировать под 9% годовых. Поэтому в момент заключения договора эта сумма может быть значительно меньше. Использовав метод дисконтирования, определим эту сумму

тыс. ден. ед.

Следовательно, чтобы через 5 лет иметь средства для выплаты страховых сумм по дожитии, страховщик должен располагать в начале страхования фондом в размере 293362,7795 тыс. ден. ед. Эту сумму и нужно собрать со страхователей. То есть каждый страхователь, заключивший в 30-летнем возрасте договор на пять лет, внесет единовременную сумму, равную

тыс. ден. ед.

Рассчитанная сумма 3181,26 ден. ед. является одновременной нетто-ставкой, предполагающей уплату взноса в начале срока страхования. ■

Расчёт единовременной нетто-ставки по дожитию

Расчёт единовременной нетто-ставки по дожитию производится следующим образом:

. (8.2)

Здесь _nE_x — единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте x лет при сроке страхования n лет; l_x+n — число лиц, доживших до окончания срока страхования; l_x — число лиц, заключивших договор в возрасте x лет; V=1+i, i — процентная ставка. Если S — страховая сумма, то величина единовременного взноса будет равна _nE_x·S.

Если в выражении (8.2) _nE_x числитель и знаменатель умножить на одно и то же число V^x, то оно примет следующий вид:

, (8.3)

где D_х=l_x·V^x — коммутационное число. Значения D_х приведены в коммутационных таблицах. Тогда единовременную нетто-ставку для предыдущего примера можно найти, пользуясь коммутационными таблицами:

и величина единовременного взноса составит 0,636251365·5000=3181,26 ден. ед. ■

В таблице коммутационных чисел приведены значения коммутационных чисел D_x, N_x, C_x, M_x, R_x. Они находятся по формулам:

D_х=l_x·V^x, N_x=D_x+D_x+1+…+D_w,

С_x=d_xV^x+1, M_x=C_x+C_x+1+…+C_w, R_x=M_x+M_x+1+…+M_w,

здесь w — заданный предельный возраст в таблице смертности.

Расчёт единовременной нетто-ставки на случай смерти

На случай смерти единовременная нетто-ставка рассчитывается по формуле

(8.4)

и единовременная сумма взноса будет равна _nA_xS. То же значение мы получим, используя коммутационные числа:

(8.5)

□ Пример 8.3. Мужчина 30-летнего возраста решил оформить страховку на случай своей смерти сроком на 5 лет на сумму 10 тыс. ден. ед. Найдём единовременную нетто-ставку на случай смерти:

,

или, используя коммутационные числа

.

и величина единовременного взноса будет равна 100,01624785=0,1624785 тыс. ден. ед. ■

При наступлении страхового случая, т. е. если страхователь умрёт в этот период, недостающие средства поступают из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, кроме того, добавить и доход от процентов.