1.6Эквивалентность процентных ставок

Процентные и учётные ставки решают одни и те же задачи: определить степень доходности при операции наращения или размеры дисконтированных сумм при учётных операциях. Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий, называются эквивалентными.

1.6.1Эквивалентность простой ставки процентов и простой учётной ставки

Рассмотрим эквивалентность простой ставки процентов и простой учётной ставки. Формулы наращенных сумм по простой ставке процентов и учётной ставке имеют вид:

S₁=P₁(1+ni); .

Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S₁=S₂ и P₁=P₂. Тогда будут равны и коэффициенты наращения:

.

Отсюда следует, что

; (1.66)

. (1.67)

Формулы (1.66) и (1.67) верны, когда временные базы K равны.

Если же начисление процентов по ставке i производится при K₁=365 дней, а по ставке d при K₂=360 дней, то легко доказать, что формулы эквивалентности принимают вид:

; (1.68)

, (1.69)

где t — число дней функционирования сделки.

□ Пример 1.17. Вексель учтен в банке по учётной ставке 8% в день окончания срока его обращения, равного 200 дням (K=360). Определить доходность этой операции по ставке простых процентов (K=365).

Решение. Эквивалентная ставка простых процентов, которая даст тот же финансовый результат, что и учётная ставка, составит:

. ■

При расчёте эквивалентности ставок следует иметь в виду, что для каждого периода наращения необходимо рассчитать свою эквивалентную ставку.

1.6.2Эквивалентность простой и сложной процентных ставок при начислении процентов один раз в год

Рассмотрим эквивалентность простой и сложной процентных ставок при начислении процентов один раз в год. Приравняем коэффициенты наращения:

1+ni_п=(1+i_c)ⁿ.

Отсюда следует, что

; (1.70)

i_с=(1+ni_п)^1/n–1. (1.71)

Самостоятельно разобрать эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки при начислении процентов m раз в году, эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в году и простой учётной ставки, эквивалентность сложных ставок и т. д.

1.6.3Средние процентные ставки Простая ставка

Проблема эквивалентности ставок в некоторых случаях может быть решена с помощью равенства средних значений ставок.

Начнём с простой ставки. Пусть за периоды n₁, n₂, ..., n_m начисляются простые проценты по ставкам i₁, i₂, ..., i_m на один и тот же капитал P, тогда на основе равенства коэффициентов наращения

получим искомую среднюю

, (1.72)

где  — общий срок наращения. Найденная характеристика представляет собой взвешенную арифметическую среднюю. Аналогичным способом получим среднюю учётную ставку:

, (1.73)

Сложная ставка

Рассмотрим сложные ставки. Из равенства коэффициентов наращения

следует

. (1.74)

Средняя в этом случае вычисляется как взвешенная геометрическая средняя.

□ Пример 1.18. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка 8%, для следующих трёх лет она составляет 10%. Найдите среднюю ставку за весь срок ссуды.

Решение. Средняя ставка за пять лет ссуды составит:

. ■

Операции с разными ставками и разными начальными суммами

Рассмотрим случай, когда одновременно идет несколько однородных операций с разными ставками i_t и разными начальными суммами P_t, все суммы выданы на один и тот же срок n под простые проценты. Ответим на вопрос: под какую ставку надо поместить объединённую сумму , чтобы получить тот же результат? Составляем уравнение эквивалентности

,

из которого получаем среднюю ставку простых процентов:

. (1.75)

Искомая ставка равна взвешенной арифметической средней, в качестве весов берутся размеры ссуд.

Если проценты сложные, то уравнение эквивалентности будет выглядеть так

,

откуда средняя ставка сложных процентов будет равна

. (1.76)

□ Пример 1.19. Выданы две ссуды P₁=1 тыс. ден. ед. и P₂=2 тыс. ден. ед. Первая выдана под 10% годовых, вторая — под 15%, сроки ссуд одинаковы и равны 2 годам. Найти средние процентные ставки.

Решение. Найдем среднюю процентную ставку, если ставки простые

.

Средняя процентная ставка для сложных ставок

. ■