4.3Нестандартные ипотеки. Ипотека с ростом платежей (gpm)

Данный вид ссуды предусматривает постоянный рост расходов по обслуживанию долга в первые пять–десять лет. В оставшееся время погашение производится постоянными взносами. Такая схема погашения может привести к тому, что в первые годы расходы должника по обслуживанию долга (срочные уплаты) окажутся меньше суммы процентов. В связи с этим величина долга некоторое время увеличивается.

Разделим весь срок погашения ссуды на два интервала протяженностью m и M месяцев. В первом интервале расходы растут с постоянным темпом роста q:

R_t=R₁q^t–1, (4.9)

где R₁ — расходы в первом месяце; q — ежемесячный темп роста расходов.

Во втором периоде расходы должника равны постоянной величине

R=R₁q^m–1=R_m. (4.10)

Найдём современную стоимость платежей каждого периода относительно начала действия контракта. В первом периоде последовательность платежей представляет геометрическую прогрессию, тогда современная стоимость A₁ этого потока равна

,

где  — дисконтный множитель.

Во втором периоде платежи представляют собой отложенную постоянную ренту с членом R=R₁q^m–1. На начало действия контракта современная стоимость A₂ этой ренты определяется как

A₂=RPVIFA_i;Mv^m= R₁q^m–1PVIFA_i;Mv^m.

Приравняем современную стоимость всего потока платежей к сумме задолженности

.

Отсюда находим величину R₁:

. (4.11)

□ Пример 4.4. Сумма задолженности по договору ипотеки — 100 тыс. ден. ед., общий срок погашения — 20 лет (240 месяцев); предусматривается рост платежей в течение 60 месяцев; процентная ставка за ссуду — 10% годовых; ежегодный прирост платежей — 5%. Необходимо разработать график погашения долга.

Решение. Исходные данные: D=100 тыс. ден. ед, m=60 месяцев, M=180 месяцев, , , ежемесячный темп роста расходов в первом периоде составит , q=0,9957760, =93,0576507. Находим величину R₁ — взнос первого месяца:

тыс. ден. ед.

Таким образом, ежемесячные расходы в первом периоде определяются как

R_t=0,8028711,0040741^t–1.

Например, расходы в конце пятилетнего периода равны:

R₆₀=0,8028711,0040741^60–1=1,02053 тыс. ден. ед.

Эта же сумма ежемесячно выплачивается во втором периоде. ■

4.4Ссуды с периодическим увеличением взносов (srm)

Схема такой ипотеки является вариантом GPM: по согласованному графику каждые три–пять лет увеличивается сумма взносов. Весь срок ипотеки разбит на k периодов (равные или неравные). Размеры взносов в каждом периоде R₁, R₂, …, R_k–1. Задача состоит в том, чтобы определить размер последнего взноса R_k.

Рассмотрим простейший вариант, когда периоды одинаковы по длине и длина одного периода m=N/k. В каждом периоде с номером t имеем аннуитет. Найдём сумму Q современных стоимостей (k–1) аннуитетов

.

Современная стоимость W непокрытой взносами задолженности

W=D–Q.

Эта задолженность W должна быть покрыта взносами последнего периода

W=R_kPVIFA_i;mv^(k–1)m.

Отсюда размер взносов в последнем периоде

. (4.12)

4.5Ссуда с залоговым счётом

Для должника в отношении метода погашения долга это ипотека не отличается от ипотечной схемы GPM. Для кредитора это стандартная ипотека. Такое совмещение двух схем достигается открытием специального залогового счёта, на который должник (или третья сторона) вносит оговоренную сумму. С этого счёта в погашение долга списываются некоторые суммы. Недостающие средства доплачиваются должником. Этим достигается некоторое обеспечение выплат и сокращение расходов должника в первые m месяцев. Схема такой ипотеки имеет вид:

В зависимости от того, какая величина задаётся, возможны различные постановки задачи. Рассмотрим одну из них. Пусть заданным является размер залогового счёта и необходимо определить суммы взносов с учётом частичного погашения путём списания с этого счёта. Решение охватывает три этапа. На первом этапе по формуле

(4.13)

рассчитывается необходимый размер взносов R, далее определяются суммы списания с залогового счёта в первые m месяцев, на последнем этапе находятся суммы доплат до требуемого размера взносов R.

Для определения сумм списания примем обозначения: V_t — сумма, списываемая с залогового счёта; r — месячная ставка процента, начисляемого на средства залогового счёта; Z — сумма залогового счёта.

Обычно суммы списания со счёта сокращаются во времени с постоянным темпом. Таким образом, соответственно размеры доплат увеличиваются.

Находим сумму, списываемую с залогового счёта в месяце с номером t:

V_t=V_t–1q=V₁q^t–1.

Современная стоимость этого потока платежей равна Z, то есть

V₁v+V₁qv²+V₁q²v³+…+V₁q^m–1v^m=Z,

где  — дисконтный множитель. Используя формулу суммы m первых членов геометрической прогрессии, получим

.

Отсюда сумма списания с залогового счёта в первый месяц составит:

. (4.14)

Сумма, списываемая с залогового счёта в месяце с номером t:

V_t=V_t–1q=V₁q^t–1. (4.15)

Должник доплачивает величину Y_t=R–V_t. Здесь 1tm. При m<tM должник уже выплачивает ежемесячно взнос R.

Остаток долга на начало t-го месяца находится как в стандартной ипотеке

D_t=D–W_t–1=D–d₁FVIFA_i;t–1=D–(R–Di)FVIFA_i;t–1. (4.16)

□ Пример 4.5. Стоимость закладываемого имущества 120 тыс. ден. ед. Продавец получает за счёт ссуды 115 тыс. ден. ед. и от покупателя 5 тыс. ден. ед. Срок ипотеки — 10 лет. Покупатель открывает специальный счёт (15 тыс. ден. ед.). На счёт начисляются проценты по ставке 10% годовых (начисление ежемесячное), списание производится 20 месяцев, сумма списания уменьшается на 2% в месяц. Составить план погашения кредита.

Решение. Дано: D=115 тыс. ден. ед.; Z=15 тыс. ден. ед.; m=20 месяцев; N=120; q=0,98; i=1%; r=10%. Размер ежемесячных взносов, которые получает кредитор

тыс. ден. ед.

Первая сумма списания со счёта

тыс. ден. ед.,

здесь

, .

Сумма списания со счёта через t месяцев составит

V_t=0,978150,98^t–1 тыс. ден. ед.

Таким образом, суммы списания

Если бы не было залогового счёта, то должник ежемесячно платил бы кредитору срочную уплату

тыс. ден. ед.

Залоговый счёт сокращает взносы должника в данном случае в первые 20 месяцев.

Если на счёт начисляются проценты 15% годовых, то

r=15%,

и размер первого списания со счёта составит

тыс. ден. ед.

Суммы списания

■