2.7Вечная рента (бессрочный аннуитет)

Рассмотрим случай, когда рента не ограничена во времени и имеет неограниченное число членов, то есть она является вечной рентой. Примером вечной ренты является выпуск облигационных займов без ограничения срока погашения. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет.

A_ — это долг, который нужно погасить за бесконечное число лет при существующей процентной ставке i. Тогда

.

Таким образом, величина годового платежа

R=A_i. (2.42)

□ Пример 2.3. Если Вы взяли в долг 10 000 ден. ед. под 10% годовых с условием, что его погашать не будете, а будете выплачивать рентные платежи в течение большого периода времени, то ежегодно вам придется платить 10 0000,1=1 000 ден. ед. ■

□ Пример 2.4. Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 400 ден. ед., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 10% годовых.

Решение. Текущая стоимость аннуитета составит

A_=R/i=400/0,1=4 000 ден. ед.

Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 4 000 ден. ед., то он представляет собой выгодную инвестицию. ■

Для общего случая ренты, когда число рентных платежей p>1, современная величина будет равна

. (2.43)

Если p=m, то

A_=R/j. (2.44)

□ Пример 2.5. Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере 20 ден. ед. дважды в год — в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму, подлежащую выплате на каждую облигацию.

Решение. Сумма, подлежащая выплате, равна современной стоимости бессрочного займа

ден. ед. ■

2.8Отложенная рента

Рассмотрим расчёт современной величины для отложенных рент, то есть таких, срок реализации которых откладывается на время, указанное в контракте.

Современная величина отложенной ренты является дисконтированной величиной современной величины немедленной ренты по принятой для неё процентной ставке. Период отсрочки выплаты рентных платежей и процентная ставка служат основанием для определения величины дисконтного множителя. Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:

A_t=Av^t, (2.45)

где A_t — современная величина отложенной ренты; A — современная величина немедленной ренты;

(2.46)

 — дисконтный множитель за t лет.

□ Пример 2.6. Строительной фирмой заключён контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трёх лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 25 тыс. ден. ед. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.

Решение. Современная величина немедленной ренты

тыс. ден. ед.

Современная величина отложенной ренты

тыс. ден. ед.

Выигрыш заказчика

62,17130–51,38124=10,79006 тыс. ден. ед. ■

2.9Конверсия финансовых рент

На практике может возникнуть ситуация, когда один из партнёров, участвующих в сделке, предлагает изменить условия оплаты: разовый платёж заменить на рентные платежи или наоборот. К более сложным случаям относятся: объединение рент в одну — консолидация рент, замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями, например, немедленной ренты на отложенную и т. д. Все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий, то её необходимо основывать на принципе финансовой эквивалентности.

Платежи считаются эквивалентными, если, будучи приведены к одному моменту, они будут иметь одинаковую стоимость. Рассмотрим некоторые случаи конверсии.

1. Выкуп ренты. Аннуитет с параметрами R, i, n заменяют разовым платежом. Решение проблемы простое. Размер выкупа должен быть равен современной стоимости ренты

A=RPVIFA_i;n. (2.47)

2. Задача, обратная выкупу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму, то задолженность можно погашать частями — в рассрочку. Величина отдельного платежа равна

R=A/PVIFA_i;n, (2.48)

где А — величина долга. Величина 1/PVIFA_i;n называется коэффициентом рассрочки.

3. Изменение продолжительности ренты. При замене обычной годовой ренты на новую с изменением срока ренты необходимо определить размер нового рентного платежа. Уравнение эквивалентности имеет вид:

.

Тогда величина рентного платежа новой ренты составит:

. (2.49)

□ Пример 2.7. Первоначальный аннуитет имеет параметры R₁=2 тыс. ден. ед., i=9%, n₁=5 лет. Он заменяется на ренту с параметрами R₂, i=9%, n₂=8 лет. Найдите R₂.

Решение. Размер нового рентного платежа

тыс. ден. ед. ■

4. Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется аннуитет с параметрами R, i, n₁. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Мы будем иметь новую ренту с параметрами R₂, i, n₂ (t не входит в срок ренты). Запишем уравнение эквивалентности

.

Отсюда

. (2.50)

Если n₁=n₂, то

R₂=R₁(1+i)^t. (2.51)

□ Пример 2.8. Пусть немедленная рента постнумерандо с ежегодным платежом R₁=2 тыс. ден. ед., i=9% откладывается на два года без изменения срока самой ренты. Как изменится размер ежегодного платежа?

Решение. Размер ежегодного платежа будет равен

R₂=2(1+0,09)²=2,3762 тыс. ден. ед.

Если же срок первоначальной ренты n₁=5 увеличить на один год (n₂=6), то размер ежегодного платежа составит

тыс. ден. ед. ■

Рассмотрим еще один вариант. Аннуитет с параметрами R, i, n₁ откладывают на t лет, член ренты остается без изменения, срок ренты меняется, причём n₂>n₁. Нужно найти срок новой ренты n₂.

Составляем уравнение эквивалентности

.

Отсюда

.

Решая это уравнение относительно n₂, найдём срок новой ренты

. (2.52)

□ Пример 2.9. Рента с параметрами R=2 тыс. ден. ед., n₁=5 лет, i=9% откладывается на два года без изменения размера ежегодного платежа. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат.

Решение. По последней формуле (2.52)найдём n₂

года.

Продолжительность новой ренты (без учёта отсрочки) шесть лет. Современная стоимость такой ренты

тыс. ден. ед.

Современная стоимость заменяемой ренты

тыс. ден. ед.

Разность в сумме 0,22788 тыс. ден. ед. следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент. ■