2.3Годовая рента
2.3.1Формулы наращенной суммы
Аннуитет постнумерандо
Рассмотрим аннуитет постнумерандо, в котором платежи производятся в конце периодов. На вносимые платежи один раз в год начисляются проценты. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастёт до величины S1=R(1+i)n–1, так как на сумму R проценты начислялись в течение (n–1) года. Второй взнос увеличится до S2=R(1+i)n–2 и т. д. На последний взнос проценты не начисляются: Sn=R.
Таким образом, будущая стоимость аннуитета будет равна сумме членов геометрической прогрессии
,
где
(2.3)
— коэффициент наращения аннуитета. Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i.
Итак, формула наращенной суммы аннуитета постнумерандо
S=RFVIFAi;n. (2.4)
Аннуитет пренумерандо
Формула наращенной суммы аннуитета пренумерандо
.
Таким образом
S=S(1+i). (2.5)
Платежи в середине периода
Если платежи вносятся в середине периода, то формула наращенной суммы
.
Таким образом
S=S(1+i)1/2. (2.6)
2.3.2Формулы современной величины
Аннуитет постнумерандо
Найдём современную
стоимость аннуитета постнумерандо. В
этом случае дисконтированная величина
первого платежа
.
Приведённая к началу ренты величина
второго платежа равна
и т. д. Таким образом, приведённые
величины образуют геометрическую
прогрессию, сумма которой
,
где
(2.7)
— коэффициент приведения аннуитета. Коэффициенты приведения ренты зависит только от срока ренты n и процентной ставки i.
Итак, формула современной стоимости аннуитета постнумерандо
A=RPVIFAi;n. (2.8)
Аннуитет пренумерандо
Формула современной стоимости аннуитета пренумерандо
.
Таким образом,
A=A(1+i). (2.9)
Платежи в середине периода
Если платежи вносятся в середине периода, то формула современной стоимости
.
Таким образом,
A=A(1+i)1/2. (2.10)
□ Пример 2.1. Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты 5 лет, разовый платёж 4 000 ден. ед. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке 8% годовых.
Решение. Современная стоимость аннуитета равна
ден. ед.
Будущая (наращенная) стоимость ренты составит
ден. ед. ■
Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты
Зависимость между наращенной суммой и современной стоимостью аннуитета постнумерандо имеет вид
A(1+i)n=S. (2.11)
Это означает, что если мы внесем в банк разовый платёж величиной А, то через n лет мы будем иметь наращенную сумму S, то есть аннуитет можно заменить разовым платежом.
Определение срока ренты
Зная будущую стоимость аннуитета S, ставку i, можно найти срок аннуитета n. Так, например, преобразовав выражение
,
получим
.
Прологарифмируем это равенство
.
Отсюда найдём срок аннуитета
. (2.12)
Аналогично, зная современную величину аннуитета A и ставку i, преобразовав выражение
,
получим срок аннуитета
. (2.13)
Выражение (2.13) имеет смысл только при R>Ai.
Определение размера ежегодной суммы платежа
В зависимости от того, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана, S или A, возможны два варианта расчёта:
R=S/FVIFAi;n. (2.14)
или
R=A/PVIFAi;n. (2.15)
□ Пример 2.2. Фирма предполагает создать специальный фонд в размере 200 тыс. ден. ед., для чего будет вносить в банк 50 тыс. ден. ед. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.
Решение. Найдём срок аннуитета
года.
Округляем срок кредита до n=3 лет. Тогда через три года наращенная сумма составит
тыс. ден. ед.
Наращенная сумма меньше 200 тыс. ден. ед. Если фирме нужно создать фонд не менее 200 тыс. ден. ед. за три года, то следует увеличить размер рентного платежа:
тыс. ден. ед. ■