Определение реальной ставки процента

На практике приходится решать и обратную задачу — находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Используя формулы (1.91), (1.94) и (1.98), нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку I по заданной брутто-ставке i_.

При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна

, (1.100)

учитывая, что I_p=(1+)ⁿ, получим:

. (1.101)

При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением:

. (1.102)

При начислении номинальной ставки сложных процентов реальная номинальная ставка процентов определяется следующим выражением:

. (1.103)

□ Пример 1.27. При уровне инфляции 80% в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 50%, начисление процентов ежемесячное. Какова реальная доходность этой операции.

Решение. По условию n=1, m=12, =0,8, I_з=1,8, j_=0,5. Чтобы оценить реальную доходность операции нам нужно найти безинфляционную номинальную ставку сложных процентов:

.

Вывод: финансовая операция убыточна. ■

1.10 Финансовая эквивалентность обязательств

Две суммы денег S₁ и S₂, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставе на один момент времени, одинаковы.

□ Пример 1.28. Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 ден. ед. через четыре месяца; условия второго: выплатить 450 ден. ед. через восемь месяцев. Можно ли считать их равноценными?

Решение. Применим простую ставку, так как платежи краткосрочные. Возьмём ставку сравнения 12%. Тогда современные величины этих платежей

ден. ед., ден. ед.

Сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и не могут заменять друг друга. ■

Результат сравнения зависит от некоторой ставки. Существует критическая ставка i₀, при которой P₁=P₂. Отсюда

и

. (1.104)

□ Для данного примера i₀=42,86%. Соотношение P₁<P₂ справедливо для i<42,86%; P₁>P₂ при i>42,86%. ■

Найти критическую ставку, если дисконтирование производится по сложной ставке (самостоятельно).

1.11 Консолидация платежей

Пусть платежи D₁, D₂, ..., D_m со сроками уплаты n₁, n₂, ..., n_m заменяются одним в сумме D₀ и сроком n₀. Решим задачу: задан срок n₀, найти сумму консолидированного платежа S₀.

Простые процентные ставки

Применим простые процентные ставки. Запишем уравнение эквивалентности

, (1.105)

где D_j — размеры объединяемых платежей со сроками n_j<n₀; D_k — размеры платежей со сроками n_k>n₀. В частном случае, когда n_j<n₀,

. (1.106)

□ Пример 1.29. Два платежа 1 000 ден. ед. и 500 ден. ед. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применение простой ставки, равной 10% годовых. Найдите консолидированную сумму долга. K=365.

Решение. Консолидированная сумма долга составит:

ден. ед. ■

Сложные процентные ставки

При объединении обязательств можно применить сложные ставки. В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид

. (1.107)

□ Пример 1.30. Платежи в 1 000 ден. ед. и 2 000 ден. ед. со сроками уплаты два и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Найдите сумму консолидированного платежа.

Решение. Сумма консолидированного платежа составит:

ден. ед. ■

При консолидации векселей в расчётах чаще всего используется учётная ставка. Записать уравнение эквивалентности для этого случая (самостоятельно).

□ Пример 1.31. Имеются два кредитных обязательства — 500 ден. ед. и 600 ден. ед. со сроками уплаты 1 октября и 1 января (нового года). По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 ден. ед. должник вносит 1 февраля, остальной долг он выплачивает 1 апреля. При расчётах используется простая процентная ставка — 10% годовых. Необходимо определить величину второго платежа — D₀.

Решение. За базовую дату, то есть за дату приведения, примем 1 января (нового года).

1 октября — 274 порядковый день в году;

1 января — 366 или 1 день в году;

1 февраля — 32 день в году;

1 апреля — 91 день.

Запишем уравнение эквивалентности

.

Решая уравнение, найдем, что D₀=428,82 ден. ед.

За базу можно принять и другую дату, например 1 апреля. Тогда D₀=428,41 ден. ед. Отличие результатов, полученных при расчёте D₀ на различные даты, неизбежно и обусловлено соотношением:

1+ni(1+n₁i)(1+n₂i),

где n=n₁+n₂. ■