Введение

Задача любой науки, в том числе экономической, состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Достаточно широкий класс финансовых операций описывается детерминированными моделями. Здесь под детерминированностью мы понимаем полную определённость будущих значений временных и финансовых характеристик изучаемых операций и процессов. Любая финансовая, кредитная или коммерческая операция предполагает совокупность условий, согласованных её участниками. К таким условиям относятся: сумма кредита, займа или инвестиций, цена товара, сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т. д. Классическую финансовую математику часто называют математикой кредита или, учитывая основополагающую роль, которую играют процент и процентная ставка в кредитных операциях, теорией процентов, теорией процентной ставки и т. п. Совокупность методов количественного анализа оценки совместного влияния на финансовую операцию многих указанных выше факторов составляет предмет финансовой математики.

Основу количественного финансового анализа составляют три основных элемента — размер платежа, срок и ставка процентов. Целью финансового анализа является решение широкого круга задач: от элементарного начисления процентов до анализа сложных кредитных и коммерческих операций. Например:

• расчёт конечных финансовых результатов операции для каждой из участвующих в ней сторон;

• сравнение эффективности различных операций или вариантов;

• выявление зависимости конечных результатов от основных параметров операций, сделки, контракта;

• разработка планов выполнения финансовых операций;

• расчёт параметров эквивалентного изменения условий контракта.

Финансовая теория разрабатывает понятия и методы для решения финансовых проблем. Как и любая другая теория, она строит модели реальных финансовых процессов. Эти модели носят характер математических моделей, так как основные элементы финансового анализа получают количественное выражение. При этом математические средства, используемые для построения и анализа финансовых моделей, варьируются от элементарной алгебры до теории случайных процессов, оптимального управления и др. Таким образом, финансовая математика в широком смысле занимается построением и изучением математических моделей финансовых операций и процессов. При этом в ней выделяют различные разделы, обычно связанные с соответствующей предметной областью:

• математика кредитных операций (теория процентов);

• математика инвестиций;

• математика производных финансовых инструментов;

• математика страховых операций (актуарная математика)

и т. п.

1Основные понятия финансовой математики

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах и договорах фиксируются соответствующие сроки, даты и периодичность поступлений денежных средств, а также их выплат. Проблема временного распределения ресурсов — отличительная характеристика финансовых проблем. Даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн. руб., полученный через год, не равноценен той же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы могут быть реинвестированы, и т. д. Этот аспект проблемы имеет афористическое выражение «время — деньги». Рубль, доллар и т. д. сегодня ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Следствием принципа неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных средств, относящихся к разным моментам времени. В финансовых вычислениях фактор времени учитывается с помощью начисления процентов.

Под процентными деньгами процентами в финансовых расчётах понимают абсолютную величину дохода от предоставления капитала в долг в любой её форме выдача денежной ссуды, покупка облигаций или сберегательного сертификата, учёт векселя, продажа товара в кредит, помещение денег на сберегательный счёт, и т. д.. Проценты обозначаются буквой I.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заёмщик, вкладчик и банк) договариваются о размере процентной ставки — отношения суммы процентных денег, начисленных за определённый интервал времени, к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала. Ставка измеряется в процентах, а также в виде десятичной или натуральной дроби. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Период начисления может быть разбит на интервалы, по прошествии которых происходит начисление процентов.

Величина полученного дохода определяется исходя из:

1. величины вкладываемого капитала P;

2. срока n, на который вкладывается капитал;

3. размера и вида процентной ставки (обозначения i, d, j, f, ).

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением (капитализацией). Под наращенной суммой S ссуды (долга, депозита и т. д.) понимается её первоначальная сумма P вместе с начисленными на неё процентами I к концу срока:

S=P+I. (1.1)

Коэффициентом наращения называется безразмерная величина, которая показывает во сколько раз наращенная сумма S больше первоначальной суммы P. Проценты в виде разности D=S–P называются дисконтом (скидкой).

Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется, исходя из предоставляемого капитала P. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала. Процесс начисления и удержания процентов вперёд называют учётом. Сумма процентных денег (дохода) определяется исходя из наращенной суммы. В этом случае процентная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемый за определенный интервал времени, к величине наращенной суммы. Такая процентная ставка называется учётной. При обоих способах начисления процентные ставки могут быть либо простыми, либо сложными.

Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменными («плавающими»). В этом случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней, которую называют маржой. Размер маржи определяется рядом условий, например сроком операции, и обычно он находится в пределах 0,5–5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.

Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчёту наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта — современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведён в будущем.