3. Символьное решение уравнений и систем уравнений

Некоторые уравнения можно решить с помощью символьного процессора Mathcad:

• Введите уравнение, пользуясь панелью Booleans (Булевы операторы) или нажав клавиши [Ctrl]+[+] для получения логического знака равенства, например х²+2(х-4)=0.

• Щелчком мыши выберите переменную, относительно которой необходимо решить уравнение, как это описано выше.

• Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable / Solve (Переменная / Решить).

После строки с уравнением появится строка с решением или сообщение о невозможности символьного решения этого уравнения.

Символьные вычисления могут производиться и над уравнениями, в которые, помимо неизвестных, входят различные параметры. Результат будет получен в аналитической форме. Например: символьным решением уравнения будут корни:

Можно символьно решать уравнения и системы уравнений и с помощью блока Given/Find, который будет выглядеть в программе MathCad следующим образом (рис. 1):

Обратите внимание, вместо знака равенства после оператора Find вводится знак  с помощью панели инструментов Evaluation (Выражения)

Рис. 1. Блок Given/Find для системы уравнений (а) или уравнения (б) в символьном виде.

Лабораторная работа 1 Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

I. Изменение численности популяции описывается одним дифференциальным уравнением

Задание 1

Рассмотрим модель изменения численности популяции, в которой рост численности зависит от доступности пищи. Доступность пищи зависит от сезонных факторов. Возьмем за основу уравнение логистического роста популяции и преобразуем его в соответствии с нашей задачей:

где: - специфическая скорость естественного увеличения популяции. В нашей задаче этот коэффициент помножается на величину cos(t), так как этот коэффициент становится то положительным, то отрицательным, в зависимости от сезона; - коэффициент, учитывающий «эффект самоотравления» популяции, или внутривидовую борьбу.

Решаем это уравнение в пакете Mathcad следующим образом:

1. Введем параметры модели:

:=3 :=0.001

t0:=0 t1:=100 N:=10000 x₀:=40

где: t0 – начальный момент времени;

t1 – конечный момент времени;

х₀ – начальная численность популяции;

N – число шагов для численных расчетов;

2. Дифференциальное уравнение в Mathcad записывается в следующем виде:

D(t,x):= cos(t)x - x²

Для решения уравнения используем численный метод Рунге-Кутта (в используемой программе для этого предназначена специальная функция rkfixed)

S:=rkfixed(x,t0,t1,N,D)

T:=S^<0> X:= S^<1>

3. Строим график изменения численности популяции X во времени.

Задание. Дайте биологическую интерпретацию полученным данным. Увеличьте коэффициент  в десять раз. Почему численность популяции со временем убывает? Какие коэффициенты нужно изменить, чтобы поддерживать численность популяции на заданном уровне?

Задание 2

Установите, как изменится численность популяции, если сезонно охотиться за данным видом. Самостоятельно, предложите вид уравнения, описывающего изменение численности популяции, взяв за основу уравнение логистического роста.

Вначале задайте следующие значения коэффициентов:

:=3; :=0.01; а:=2,5 (коэффициент, характеризующий интенсивность отстрела животных)

x₀:=40; t0:=0; t1:=200; N:=10000.

С какой интенсивностью нужно охотиться, чтобы поддерживать численность популяции на постоянном уровне. Ответ подтвердите выполненными расчетами.