4. Биологический метод борьбы с нежелательным видом. Метод Кюрасао.
В популяцию, которую хотят подавить (например, в популяции сельскохозяйственных вредителей), регулярно вводят стерильных особей. Не участвуя в процессе естественного воспроизводства, эти особи наряду с нормальными, участвуют во внутривидовой борьбе, снижая тем самым скорость естественного увеличения популяции.
Если
обозначить плотность нормальных особей,
–
скорость, с которой стерильные особи
вводятся в популяцию (т. е. число стерильных
особей, вводимых в единицу времени на
единицу площади), а
–
плотность стерильных особей, то вопрос,
на который мы хотим ответить, состоит
в том, чтобы определить по возможности
минимальную скорость
,
при которой плотность
стремится к нулю при
(Понятно, что популяция, у которой
,
обречена на вымирание).
Мы изучаем наиболее простую модель, предложенную Базыкиным.
Первое и третье слагаемые справа в первом уравнении имеет тот же смысл, что и в уравнении Ферхюльста – Перла. Второе слагаемое отражает уменьшение скорости из-за конкуренции между нормальными и стерильными особями.
Аналогично
слагаемое -
во втором
уравнении соответствует уменьшению
скорости
в силу конкуренции между стерильными
особями, а слагаемое -
-
уменьшению скорости в силу конкуренции
между стерильными и нормальными особями.
Предположим,
что стерильные особи вводятся со
скоростью
,
пропорциональной их наличному количеству,
т. е.
,
где
-
некоторый коэффициент пропорциональности.
Тогда система приобретет вид
Система
ни чем не отличается от системы Вольтера.
Равенство
означает,
что в конкурентной борьбе (например, за
пищу) стерильные и нормальные особи
равноценны.
Начиная
с момента времени
первый вид исчез. Стерильные особи
перестают вводить в систему и оставшиеся
постепенно погибают, так как
уравнение, описывающее изменение их
численности будет иметь вид:
Возможности MathCad, которые можно использовать при изучении темы
1. Символьное решение определителя матрицы для нахождения корней характеристического уравнения
На панели инструментов Matrix нажмите кнопку
.
В пустой местозаполнитель внутри
определителя вставьте матрицу n
x
n,
где n
– количество неизвестных в исследуемой
системе.В появившиеся пустые ячейки матрицы введите выражения в частных производных для каждого из уравнений.
С помощью последовательных нажатий клавиши [Пробел] измените положение курсора таким образом, чтобы он обрамлял всю матрицу вместе со знаком определителя.
Для символьного решения определителя нажмите кнопку панели инструментов Evaluation (Выражения) и щелкните мышью на свободном месте рабочего листа. Результат появится на экране.
2. Нахождение частных производных с помощью программы MathCad
Введите выражение, для которого нужно найти частные производные.
Примечание:
при вводе уравнений для нахождения
производных используйте переменные
без индексов. Например:
верной
будет запись
,
а не
Щелчком мыши выберите переменную, относительно которой необходимо продифференцировать. Вокруг переменной появится курсор синего цвета. Если переменная встречается в уравнении несколько раз, устанавливать курсор можно на любой из них.
В меню Symbolics (Символика) выберите пункт Variable / Differenciate (Переменная / Дифференцировать).
После строки с выражением на рабочем листе появится результат дифференцирования. Данное выражение можно перетаскиванием (либо через буфер обмена) поместить в ячейку матрицы для нахождения характеристического уравнения.