Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

неперепутанным, по отношению к этой декомпозиции, если оно может быть записано в виде |ψ =| v1 | v2 | vn , где | vi Vi . В противном случае,

состояние |ψ перепутанное по отношению к этой декомпозиции.

Когда мы говорим, что n-кубитное состояние перепутано, мы предполагаем, что оно перепутано по отношению к декомпозиции тензорных произведений векторного пространства V , ассоциированного с n-кубитной системой через n двумерных векторных пространств Vn−1,Vn−2 ,...,V0 , привязанных

ко всем индивидуальным одиночным кубитам. Чтобы такие утверждения имели

Критически важно помнить, что перепутывание не является абсолютным, обязательным свойством квантового состояния, а зависит от конкретной декомпозиции системы на рассматриваемые подсистемы. Состояния, перепутанные по отношению к декомпозиции одиночных кубитов, могут быть неперепутанными относительно декомпозиции на другие подсистемы. Следующий пример показывает как некоторое состояние может быть перепутано по отношению к одной декомпозиции и неперепутано по отношению другой.

Пример 3.3.3. Неоднозначность термина «перепутывание». Мы говорим, что четырехкубитное состояние

|ψ = 12 (|00 +|11 +|22 +|33 ) = 12 (|0000 +|0101 +|1010 +|1111 )

перепутанное, поскольку его невозможно выразить через тензорное произведение состояний четырех одиночных кубитов. Другими словами, подразумевается, что речь идет о перепутывании по отношению к декомпозиции состояний одиночных кубитов. Есть другие декомпозиции, по отношению к которым это состояние неперепутанное. Например, состояние |ψ можно выразить через произведение двух двукубитных состояний:

где индексы указывают, о каких кубитах идет речь. Так что состояние |ψ неперепутанное по отношению к системе декомпозиции, состоящей из подсистем первого и третьего кубитов и подсистем второго и четвертого кубитов. Можно, однако, убедиться, что состояние |ψ перепутанное по отношению к системе декомпозиции, состоящей из подсистем первого и второго кубитов и подсистем из третьего и четвертого кубитов.

Важно отдавать себе отчет, что понятие о перепутывании, явно или неявно, не связано с выбором базиса, хотя оно зависит от используемой тензорной декомпозиции.

В § 2.4 обсуждался смысл термина «суперпозиция» применительно к одиночным кубитам. Теперь наступил черед множественных кубитов. Как и в случае одиночных кубитов, большинство состояний n-кубитов – это суперпозиции, нетривиальные линейные комбинации базисных векторов. Как всегда, упоминание о суперпозиции всегда связано с выбором базиса: все состояния являются суперпозициями по отношению к определенным базисам и не являются таковыми в других базисах. Эта ситуация даже усугубляется при переходе к множественным кубитам.

3.4. Предварительно об измерении n-кубитных систем

Мы видели в § 2.2, что измерение одиночного кубита носит вероятностный характер и трансформирует состояние измеряемого кубита в такое состояние, которое совместимо с измерительным устройством. Аналогичное утверждение справедливо и для множественных кубитов, разве что результаты измерения намного богаче по сравнению с результатами измерения одиночного кубита. Опишем математический формализм, используемый в случае измерения n-кубитов.

Пусть V будет N = 2n -размерное векторное пространство, связанное с n-кубитной системой. Любое устройство для измерения такой системы характеризуется связанной с ним декомпозицией прямой суммы ортогональных

пространства V , ассоциированного с одиночным кубитом. Векторы | vi каждый

одномерных подпространства и любой выбор единичных векторов, по одному для каждого подпространства, дает ортонормированный базис.

Когда измерительное устройство со связанной с ним декомпозицией

состояний, имеющихся среди состояний подпространств с вероятностью, равной квадрату абсолютного значения амплитуды этой компоненты |ψ в этом подпространстве. Более строго, состояние |ψ это уникальная декомпозиция

измерено, систему получаем в состоянии |ψi с вероятностью | ai |2 . Это аксиома

квантовой механики о том, что любое измерительное устройство характеризуется декомпозицией прямой суммы, а взаимодействие заканчивается описанным выше результатом. Естественно, невозможно доказать, что любое конкретное измерительное устройство ведет себя именно таким образом, но до сих пор сформулированное утверждение идеально оправдывает себя в предсказании результатов измерений с высокой точностью.

Пример 3.4.1. Измерение одиночного кубита в стандартном базисе.

Пусть V будет векторным пространством для одиночного кубита. Устройство, измеряющее кубит в стандартном базисе, по определению,

Пример 3.4.2. Измерение одиночного кубита в базисе Адамара.

Устройство, измеряющее одиночный кубит в адамаровском базисе

ассоциируется с декомпозицией подпространств V = S+ S− , где S+ порождается

Следующие два примера описывают измерения двукубитных состояний, используемых в квантовом протоколе передачи ключа с использованием перепутанных состояний, обсуждением которого закончится эта глава. В следующей главе измерение множественных кубитных систем рассматривается подробно и вводится стандарт обозначений, принятый в квантовых измерениях.

Пример 3.4.3. Измерение первого кубита двукубитного состояния в стандартном базисе.

Пусть V будет векторным пространством для двукубитной системы. Устройству, измеряющему первый кубит в стандартном базисе, сопоставляется

{|10 ,|11 }. Чтобы увидеть, что происходит при измерении таким устройством произвольного двукубитного состояния |ψ = a00 | 00 +a01 | 01 +a10 |10 +a11 |11 запишем это состояние как |ψ = c1 |ψ1+c2 |ψ2 , где |ψ1 = c1−1(a00 | 00 +a01 | 01 ) S1 и

состояния | 00 и |11 .

Пример 3.4.4. Измерение первого кубита двукубитного состояния в базисе Адамара.

Устройству, измеряющему первый кубит в адамаровском базисе

|ψ = a1′ |ψ1′+a2′ |ψ2′ , где

и

| − | −.

3.5.Квантовый протокол передачи ключа с использованием перепутанных состояний

В1991 году А. Экерт разработал квантовый протокол передачи ключа с использованием необычных свойств перепутанных состояний [14]. Есть определенная схожесть у протоколов ВВ84 (§ 2.5) и Экерт91. В последнем Алиса и Боб устанавливают общий личный ключ, порознь выполняя случайные измерения на поступающих к ним по квантовому каналу (он должен быть двусторонним) половинкам ЭПР-пары (§ 3.3) и затем сравнивают результаты декодирования по классическому каналу.

Поскольку Алиса и Боб не обмениваются полноценными квантовыми состояниями, подслушивающая их по классическому каналу Ева не может узнать что-либо полезное для себя, у нее есть только один шанс добраться до информации о личном ключе путем взаимодействия с подразумеваемой ЭПР-парой тогда, когда она создается и передается по квантовому каналу. Именно по этой причине легче прогнозировать безопасность протокола на перепутанных состояниях.

Реализация протокола Экерта начинается с генерации последовательности

ЭПР-пар кубитов, все в перепутанном состоянии | Φ+ = 12 (| 00 + |11 ) . Алиса

получает первый кубит каждой пары, а Боб – второй. Когда они захотят создать секретный личный ключ, для каждого полученного ими кубита они оба независимо друг от друга и случайным образом берут либо стандартный базис

154

{| 0 ,|1 } или базис Адамара {| +,| −}, с помощью которых проводят измерения как и в протоколе ВВ84 (§ 2.5). После всех измерений они сравнивают базисы и отбрасывают те биты, базисы для которых у партнеров не совпали.

Если Алиса измеряет первый кубит в стандартном базисе и получает | 0 , значит исходное состояние есть | 00 . Если теперь Боб измеряет в стандартном базисе, он с определенностью получит | 0 . Если, напротив, он измеряет с помощью адамаровского базиса {| +,| −}, он получит | + и | − с одинаковой

вероятностью, поскольку | 00 =| 0 ( 12 (| + + | −)) . Как и в случае протокола ВВ84,

он интерпретирует состояния | + и | − как отвечающие значениям 0 и 1 классического бита, соответственно. Таким образом, когда он измеряет в базисе {| +,| −}, а Алиса измеряет в стандартном базисе, он получает такое же, как и Алиса, значение бита в половине случаев. Поведение партнеров остается прежним, если измерение Алисы для кубита дает значение |1 . Если же Алиса измеряет в базисе Адамара и обнаруживает, что ее кубит находится в состоянии | + , то исходное состояние будет | + | +. Если Боб измеряет в адамаровском базисе, то он с определенностью получит состояние | + , тогда как при измерении в стандартном базисе он получает | 0 и |1 с одинаковой вероятностью. Поскольку партнеры всегда получают одно и то же значение бита, если измерения ими проводятся с одним и тем же базисом, окончательный личный протокол пополняется общими случайными битами, если только исходные для них пары были ЭПР-парами. Секретность протокола Экерта базируется на описанных дополнительных этапах протокола, которые позволяют Алисе и Бобу проверять достоверность их ЭПР-пар. Эта проверка основана на так называемых неравенствах Белла.

Протокол Экерта интригует тем, что теоретически Алиса и Боб могут приготовить общий личный ключ в любое время, когда он им понадобится, а не хранить его длительное время и тем самым подвергать его опасности быть похищенным. На практике для создания личного ключа в нужный момент партнерам важно иметь возможность так хранить ЭПР-пары, чтобы они не разрушились со временем. Однако, на сегодня все еще нет приемлемого решения для длительного хранения перепутанных состояний без их разрушения.

155

156

Глава 4. Измерение состояний множественных кубитных систем 4.1. Введение

Неклассическое поведение и результаты квантовых измерений критически важны при обработке квантовой информации. Эта глава посвящена изложению стандартного математического формализма для измерения множественных кубитных систем и последующему использованию этого формализма для описания существенно неклассического поведения перепутанных состояний при измерении. Дираковские обозначения распространим на линейные преобразования. Они найдут применение при обсуждении измерений, а в следующей главе потребуются для описании квантовых преобразований над квантовыми системами.

4.2. Дираковские обозначения для линейных преобразований

Обозначения Дирака бра/кет особенно удобны для выполнения линейных преобразований над квантовыми состояниями. Вспомним (§ 2.3), что по отношению к кет-вектору |ψ его комплексно транспонированный вектор обозначается ψ | и внутреннее произведение векторов |ψ и |ϕ записывается как ψ |ϕ . Обозначение | x y | означает внешнее произведение векторов | x и | y . Матричное умножение ассоциативно, скаляры коммутируют во всех операциях, поэтому должны выполняться следующие равенства:

(|a b |) |c =|a ( b ||c ) =( b |c ) |a .

Пусть V есть векторное пространство, ассоциируемое с одиночным кубитом. Поскольку в стандартном базисе с порядком следования векторов

Внешнее произведение векторов – это оператор. Аналогичным образом получаем матричные представления для остальных трех операторов:

Таким образом, все двумерные линейные преобразования в пространстве V могут быть записаны в дираковских обозначениях следующим образом:

Мы будем далее пользоваться также следующим обозначением для такого оператора:

X :|0 |1 ,

|1 |0

подчеркивающим, какое именно влияние оказывает оператор на базисные векторы.

Пример 4.2.2. Линейное преобразование

|10 00| +|00 10| +|11 11| +|01 01|,

меняющее местами базисные векторы | 00 и |10 , не затрагивая при этом остальные векторы | 01 и|11 , в стандартном базисе дается матрицей

Оператор n-кубитной системы, отображающий базисный вектор | j в | i , а все другие стандартные базисные элементы в нули может быть записан в стандартном базисе как

O =|i j |,

158

а матрица этого оператора имеет единственный ненулевой элемент 1 в позиции ij, на пересечении i-ой строки и j-го столбца. Оператор O в общем виде в стандартном базисе с элементом aij

O=∑∑aij |i j |,

ij

Обобщая, если {| βi } – базис N-мерного векторного пространства V , тогда оператор O :V V может быть по отношению к этому базису записан в виде

N N

∑∑bij | βi βj |. i=1 j=1

В частности, матрица оператора O по отношению к базису {| βi } в качестве элементов имеет Oij = βij .

Поначалу использование векторных и матричных обозначений представляется более удобным и привычным, тем более, что многие вычисления обычно ведутся именно в этих обозначениях. Однако, они требуют предварительного выбора базиса и договоренности об упорядочении элементов

вбазисе. Дираковские обозначения не зависят от базиса и от порядка элементов

вбазисе. Они более компактные и более удобные, нужно лишь только к ним привыкнуть.

4.3. Проекционные операторы для измерений

Измерение одиночного кубита путем проектирования его на базисный вектор, связанный с измерительным устройством, рассматривалось в § 2.4. Аналогичная процедура используется при измерении множественного кубита. Для любого подпространства S V подпространство S содержит все векторы, перпендикулярные векторам в S . Подпространства S и S удовлетворяют V = S S . Таким образом, любой вектор | v V может быть единственным

159