Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

Итак, мы привели три различных представления для пространства квантовых состояний одиночного кубита:

амплитуды уникальны с точностью до умножения на комплексное число, по модулю равное единице. Ввиду этого обстоятельства – глобальной фазы, векторное представление не является однозначным.

2.Расширенная комплексная плоскость: комплексное число α С или ∞; это представление является однозначным.

3.Блоховская сфера: точки (x, y, z) с координатами на единичной сфере; это представление тоже является однозначным.

В заключение этой главы отметим, что состояния всех квантовых систем характеризуются свойствами, заложенными в линейном дифференциальном волновом уравнении Шредингера. Поэтому решения уравнения Шредингера называются волновыми функциями, и все квантовые состояния представимы волновыми функциями. При построении теории квантовых информационных процессов нет нужды касаться специфики какой-либо возможной реализации кубитов, а тем самым конкретизировать волновые функции. Достаточно рассматривать волновые функции как абстрактные векторы, которые будем обозначать как кет-векторы |→ или | 0 .

Поскольку уравнение Шредингера линейное, комбинация двух его решений или решение, помноженное на константу, также являются решениями уравнения Шредингера. Набор решений уравнения Шредингера для любой квантовой системы образует комплексное линейное пространство. В теоретических вопросах обработки квантовой информации рассмотрение конечномерных векторных пространств обычно достаточно. Все же упомянем, что в случае бесконечномерных пространств нужно обращаться к гильбертовым пространствам. В следующей главе мы обсудим множественные кубитные системы. Как и в случае одиночных кубитов, имеет место определенная избыточность в системе из многих кубитов. Значительная избыточность в векторном представлении больших множественных кубитных систем ведет к значительно более сложной геометрии.

140

Глава 3. Множественные кубитные системы

3.1. Введение

Как только вы переходите к системам, содержащим более одного кубита, сразу становятся очевидными преимущества, открывающиеся при обработке квантовой информации. В отличие от классических систем пространство состояний квантовой системы растет экспоненциально с увеличением числа частиц. Когда мы кодируем информацию с помощью квантовых состояний системы из n частиц, оказывается, что в нашем распоряжении имеется неизмеримо больше квантовых состояний по сравнению с числом возможных состояний в классических системах.

Представим себе макроскопическую физическую систему, состоящую из нескольких компонентов. Состояние такой классической системы может быть полностью охарактеризовано путем описания состояния каждой из еe компонент. Неожиданным аспектом квантовых систем является то обстоятельство, что состояние такой системы не может быть описано посредством состояний ее отдельных компонентов. Состояния, которые не могут быть описаны таким образом, называют перепутанными состояниями. Именно перепутанные состояния являются квинтэссенцией квантовой информатики.

Перепутанные состояния – уникальное квантовое явление, у которого нет классического аналога. Подавляющее большинство состояний квантовой системы – это перепутанные состояния, именно они преимущественно заполняют все возможное пространство состояний квантовой системы. Невозможность эффективно моделировать поведение перепутанных состояний на классических битовых компьютерах, по мнению Ю. Манина [8, 9] и Р. Фейнмана [10 – 12], открывает перспективы выполнять намного более производительные вычисления, что и привело к развитию новой области знаний – квантовых вычислений, а затем и к созданию квантовых компьютеров.

Настоящая глава посвящена математическому формализму для описания множественных кубитных систем. Подчеркивается различие в построении классических и квантовых пространств состояний – различие между прямой суммой двух и более векторных пространств и тензорным произведением набора векторных пространств. Одним из следствий этого различия является экспоненциальное увеличение размерности пространства квантовых состояний с ростом числа частиц. Затем дается формальное определение перепутанных состояний и обсуждается их уникальное квантовое поведение. Глава

141

заканчивается обсуждением квантового протокола передачи ключа с использованием перепутанных состояний.

3.2.Пространство квантовых состояний

Вклассической физике все возможные состояния системы из n тел, индивидуальные состояния которых могут быть описаны вектором в двумерном векторном пространстве, описываются векторами в векторном пространстве размерности 2n. Классическое пространство состояний n тел получается прямым суммированием пространств всех тел, иначе говоря, строится с помощью прямых сумм. Однако, суммарное пространство состояний квантовой системы из n частиц, каждая из которых описывается двумерным вектором, существенно больше. Векторные пространства квантовых систем строятся с помощью тензорных произведений, в результате чего размерность

векторного пространства n-частичной квантовой системы оказывается равной 2n. Ниже даются формальные определения прямых сумм и тензорных произведений, они сравниваются между собой и подчеркивается различие между ними в размерности результирующего пространства.

| x V W может быть записан как | x =| v | w для некоторых | v V и | w W . Для V и W размерности n и m , соответственно, прямая сумма V W имеет размерность n +m :

dim(V W ) =dim(V ) +dim(W ) .

Сложение векторов и умножение вектора на скаляр определяются в результате выполнения каждой из этих операций над обоими компонентами

Пусть состояние каждого из трех классических объектов O1 , O2 и O3 полностью описывается двумя параметрами – координатой xi и импульсом pi .

Тогда состояние всей системы из этих трех объектов может быть описано прямой суммой состояний всех объектов:

В общем случае пространство состояний n классических объектов характеризуется размерностью 2n , т. е. размерность пространства классических объектов растет линейно с числом объектов.

nm -мерное векторное пространство с базисом, содержащим nm элементов вида |αi | βj , где значок означает тензорное произведение, удовлетворяющее

следующим свойствам [13]:

(|v1 +|v2 ) | w =|v1 | w +|v2 | w ,

|v (| w1 +| w2 ) =|v | w1 +|v | w2 , (a |v ) | w =|v (a | w ) =a(|v | w ).

Выбрав k = min (n,m) , все элементы V W для | vi V и | wi W имеют вид:

|v1 | w1 +|v2 | w2 +...+|vk | wk .

Из-за свойств, перечисленных выше и определяющих тензорное произведение, такое представление тензорного произведения не однозначное. Более того, хотя все элементы V W могут быть записаны в виде

α1(|α1 | β1 ) +α2(|α2 | β1 ) +... +αnm (|αn | βm ) ,

большинство элементов V W не могут быть записаны в виде | v | w , где | v V и | w W .

143

Пример 3.2.2.1. Возьмем двумерные векторные пространства V и W с ортонормированными базисами A ={|α1 ,|α2 } и B ={| β1 ,| β2 }, соответственно.

Пусть элементами V и W будут | v = a1 |α1+a2 |α2 и | w = b1 | β1+b2 | β2 . Тогда

|v | w =a1b1 |α1 | β1+a1b2 |α1 | β2+a2b1 |α2 | β1+a2b2 |α2 | β2 .

Если V и W есть векторные пространства, соответствующие кубиту и каждое со стандартным базисом {| 0 ,|1 }, тогда V W в качестве базиса имеют

{|0 |0 ,|0 |1 ,|1 |0 ,|1 |1 }.

Тензорное произведение двух состояний одиночного кубита a1 | 0 +b1 |1 и a2 | 0 +b2 |1 будет

a1a2 |0 |0 +a1b2 |0 |1 +a2b1 |1 |0 +a2b2 |1 |1 .

Чтобы привести примеры в более привычных матричных обозначениях для векторов, мы должны выбрать определенное упорядочение в базисе пространства тензорного произведения. Например, можно выбрать лексикографическое упорядочение {|α1 | β1 ,|α1 | β2 ,|α2 | β1 ,|α2 | β2 }.

Пример 3.2.2.2. При выборе лексикографического упорядочения базиса для пространства тензорного произведения, тензорное произведение единичных

( v2 | w2 |) (|v1 | w1 ) = v2 |v1 w2 | w1 .

Тензорное произведение двух единичных векторов есть единичный вектор, а при ортонормированных базисах {|αi } для V и {| βi } для W базис {|αi | βj }

для V W также ортонормированный. Тензорное произведение V W имеет размерность dim(V ) ×dim(W ) , так что тензорное произведение n двумерных

тензорного произведения вектора в V и вектора в W , хотя все они являются

144

линейными комбинациями таких элементов. Это наблюдение является критически важным для квантовых вычислений. Состояния в V W , которые не могут быть записаны как тензорные произведения вектора в V и вектора в W , называются запутанными состояниями. Как мы увидим, для большинства квантовых состояний в n -кубитной системе, в частности, для всех запутанных состояний, бессмысленно говорить о состоянии одиночного кубита в системе.

3.2.3. Пространство состояний n-кубитной системы

Пусть даны две квантовых системы с состояниями, представляемыми единичными векторами в V и W , тогда возможные состояния объединенной квантовой системы представимы единичными векторами в векторном пространстве V W . Пусть Vi для будет векторным пространством с

базисом {| 0 i , |1 i}, соответствующим одиночному кубиту. Стандартный базис

{| 0 n−1 | 0 1 | 0 0 , | 0 n−1 | 0 1 |1 0 , | 0 n−1 |1 1 | 0 0 ,...,|1 n−1 |1 1 |1 0}.

Нижние индексы часто опускают, простая последовательность кет-векторов означает, по договоренности, тензорное произведение, что все вместе и позволяет записать этот базис в более компактной форме:

{|0 |0 |0 ,|0 |0 |1 ,|0 |1 |0 ,...,|1 |1 |1 }.

Поскольку при обработке квантовой информации часто используется пространство тензорных произведений, соответствующее n-кубитной системе, то договорились о еще более компактной и легко читаемой записи | bn−1,..., b0

поскольку десятичные обозначения более компактны по сравнению с двоичными, состояние | bn−1 ... b0 более компактно запишем как | x , где числа bi есть двоичное представление десятичного числа x . С этой договоренностью стандартный базис n-кубитной системы имеет вид {| 0 , |1 , | 2 , ... ,| 2n −1 } .

Стандартный базис для двукубитной системы записывается в виде

{|00 ,|01 ,|10 ,|11 } ≡{|0 ,|1 ,|2 ,|3 },

а для трехкубитной как

{|000 ,|001 ,|010 ,|011 ,|100 ,|101 ,|110 ,|111 } ≡{|0 ,|1 ,|2 ,|3 ,|4 ,|5 ,|6 ,|7 }.

145

Поскольку в этих двух записях вектор | 3 соответствует двум различным квантовым состояниям – в двукубитной и в трехкубитной системах, избежать неопределенности можно, всегда указывая в контексте о скольки-кубитной системе идет речь.

Пример 3.2.3.1. Суперпозиции

представляют различные возможные состояния трехкубитной системы.

Если использовать матричные обозначения для векторов состояний, то нужно договориться о порядке следования базисных векторов. Если не принята какая-либо иная договоренность, то векторы обычно просто перечисляются. Например, для двукубитной системы

12 |00 + 2i |01 + 12 |11 ≡ 12 |0 + 2i |1 + 12 |3

матричное представление будет таким:

12i2 .012

Стандартные базисы далее используются повсеместно, однако, в некоторых случаях приходится обращаться к специальным базисам. Например, базис Белла для двукубитной системы

играет важную роль в квантовой информатике, в частности, в квантовой телепортации. Как и в случае одиночного кубита, некоторое состояние | v будет суперпозицией по отношению к набору ортонормированных состояний

набор ортонормированных состояний не конкретизирован, это означает, что суперпозиция задана относительно стандартного базиса.

Любой единичный вектор в 2n -мерном пространстве состояний представляет возможное состояние n-кубитной системы, однако, как и в случае одиночного кубита, есть некоторая избыточность представления. В случае множественного кубита не только векторы, отличающиеся между собой множителем представляют одно и то же квантовое состояние, но и свойства тензорного произведения таковы, что фазовые множители могут быть записаны в любом месте тензорного произведения; один и тот же фазовый множитель в различных кубитах тензорного произведения представляет одно и то же состояние:

|v (eiφ | w ) =eiφ(|v | w ) =(eiφ |v ) | w .

Пример 3.2.3.2.

Как и в случае одиночного кубита, векторы, отличающиеся только глобальной фазой, представляют одно и то же состояние. Если мы записываем квантовое состояние в виде

a0 |0...00 +a1 |0...01 +... +a2n −1 |1...11 ,

и требуем, чтобы первые ненулевые амплитуды ai были действительными и

неотрицательными, тогда каждое такое квантовое состояние представлено единственным образом. Поскольку такое представление однозначно декларирует квантовые состояния, то пространство квантовых состояний n-кубитной системы имеет 2n −1 комплексных измерений.

147

Как и в случае одиночного кубита, нужно быть внимательным и не отождествлять векторное пространство, используемое при вычислениях, с собственно квантовым состоянием. Опять же, нужно быть внимательным и избегать путаницы между относительными и глобальными фазами, если первые критически важны в квантовой механике, то глобальные фазы не имеют физического смысла. Как и прежде (§ 2.6.1), мы пишем | v | w , если векторы | v и | w отличаются только глобальной фазой и поэтому представляют одно и

себя по разному во многих ситуациях:

Квантово-механические вычисления обычно ведут в векторном пространстве в связи с его линейностью. Однако, всегда нужно помнить об эквивалентности ( ) при интерпретации результатов вычислений в виде квантовых состояний. Дополнительные недоразумения возникают, если состояния записываются в разных базисах. Вспомним из § 2.6.1 состояния

разные записи для одного и того же вектора.

Быстрая ориентировка в различных записях и свойствах тензорных произведений окажется весьма полезной в дальнейшем.

3.3. Перепутанные состояния

Как мы видели в § 2.6.2, состояние одиночного кубита может быть идентифицировано одним комплексным числом, так что любое тензорное произведение n одиночных кубитных состояний может быть идентифицировано n комплексными числами. Вместе с тем, в предыдущем параграфе 3.2.3 показано, что для описания n-кубитной системы требуется 2n −1

148

комплексных чисел. Поскольку 2n n , подавляющее большинство n-кубитных состояний не может быть описано посредством n одиночных кубитных систем. Состояния, которые не могут быть записаны как тензорные произведения состояний n одиночных кубитов называются перепутанными состояниями. Подавляющее большинство квантовых состояний перепутанные.

Пример 3.3.1. Квантовые состояния базиса Белла (1) перепутанные. Например, белловское состояние | Φ+ = 12 (| 00 + |11 ) невозможно описать через состояния

каждой из компонент его двух исходных одиночных кубитов, его нельзя разложить на эти компоненты, поскольку невозможно найти такие амплитуды

a1,a2 ,b1,b2 , что

поскольку

(a1 |0 +b1 |1 ) (a2 |0 +b2 |1 ) =a1a2 |00 +a1b2 |01 +b1a2 |10 +b1b2 |11 ,

и нулевое значение a1b2 = 0 означает, что либо a1a2 = 0 , либо b1b2 = 0. Две частицы в белловском состоянии | Φ+ называют ЭПР-парой в честь А. Эйнштейна, Б. Подольского и Н. Розена, сформулировавших парадокс в квантовой механике, названный их именами, который мы обсудим в следующей главе.

Пример 3.3.2. Вот еще примеры двукубитных перепутанных состояний:

Две пары белловских состояний (§ 3.2.3) | Φ+ , | Φ− и | Ψ+ , | Ψ− играют фундаментальную роль в обработке квантовой информации, в частности, в квантовой телепортации (§ 5.4.2) и в плотном кодировании (§ 5.4.1). Белловские состояния максимально перепутаны.

Строго говоря, понятие перепутывания всегда определяется по отношению к некой декомпозиции тензорного произведения пространства состояний.

149