Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

бы всегда придерживаться выбранных представлений. Все векторы и матрицы далее записываются в стандартном базисе {| 0 ,|1 } именно в таком порядке базисных векторов.

Квантовое состояние | v есть суперпозиция базисных элементов {| β1 ,| β2 }, если существует нетривиальная линейная комбинация | β1 и | β2 : | v = a1 | β1+a2 | β2 , где a1 и a2 – ненулевые. Чтобы термин «суперпозиция» был

содержательным, необходимо определиться с базисом. Далее мы пользуемся этим термином без явного определения базиса: мы всегда безоговорочно подразумеваем, что используется стандартный базис.

Поначалу для многих читателей привычными кажутся обозначения в векторном и матричном виде, как более знакомые еще со студенческих лет. К тому же матричные обозначения часто удобны при выполнении расчетов, но они всегда требуют выбора базиса и указания порядка следования базисных элементов. Скобочные же обозначения имеют то преимущество, что они не зависят от базиса и принятого порядка базисных элементов. Они более компактные, как мы видели выше на примере внутренних произведений. Нужно просто привыкнуть к ним: их станет легче и быстрее читать.

Итак, мы обзавелись математическим аппаратом для описания кубитов. Однако, нам еще нужна математическая модель для измерительных устройств и описания взаимодействия с ними кубитов.

2.4. Измерение одиночных кубитов

Взаимодействие фотона с поляроидным фильтром может служить хорошим примером ключевых особенностей взаимодействия измерительного устройства с квантовой системой. Математическое описание эксперимента с фотонами можно использовать для моделирования любых измерений одиночных кубитов, независимо от их физической реализации. Измерение

130

более сложных квантовых систем сохраняет многие особенности однокубитных измерений таких, как вероятностный исход измерений и влияние измерения на состояние измеряемой системы. В этом параграфе речь пойдет только об однокубитных измерениях. Позже мы рассмотрим измерения более сложных квантовых систем.

Квантовая механика утверждает, что любое устройство, которое измеряет квантовую систему с двумя различимыми состояниями (§ 2.3) должно также иметь два предпочтительных состояния, характеризуемых векторами {| u ,| u } , образующими ортонормированный базис в пространстве этих векторов. Измерение квантового состояния трансформирует его в один из векторов | u или | u , ассоциированных с измерительным устройством. Вероятность того, что исходное измеряемое состояние трансформируется в состояние, характеризуемое вектором | u , есть квадрат величины амплитуды, связанной с вектором состояния | u измерительного устройства. Например, применительно к устройству, измеряющему фотоны и характеризуемому базисом {| u ,| u } , измеряемое состояние | v = a | u +b | u после измерения окажется в состоянии | u с вероятностью | a |2 или в состоянии | u с вероятностью| b |2 .

Описанное выше поведение измерительного устройства – это аксиома квантовой механики, не следующая из каких-либо других физических законов. Подобное поведение наблюдается в реальных экспериментах. Если квантовая механика верна, то любые устройства, измеряющие одиночные кубиты, должны вести себя подобным образом: устройства имеют связанный с ними базис, и после измерения на выходе реализуется один из базисных векторов устройства. По этой причине, если измеряется кубит, должно быть указано, относительно какого базиса этого устройства выполнено измерение. Мы всегда будем далее предполагать, что измерение кубита выполняется относительно стандартного базиса {| 0 ,|1 }.

Измерение квантового состояния изменяет это состояние. Если состояние | v = a | u +b | u измерено как | u , это означает, что состояние | v перешло в состояние | u . Последующее второе измерение с тем же базисом вернет состояние | u с вероятностью единица. Таким образом, если только исходное состояние не является одним из базисных состояний, то одиночное измерение изменит это состояние, сделав невозможным определение исходного состояния при любой дальнейшей последовательности измерений.

Тогда как с математикой измерения кубита в состоянии суперпозиции a | 0 +b |1 по отношению к стандартному базису все ясно, измерение порождает

131

вопросы о смысле термина «суперпозиция». Для начала заметим, что упоминание о суперпозиции всегда связано с определенным базисом. Все состояния являются суперпозициями по отношению к определенным базисам, но не являются таковыми по отношению к другим базисам. Например, a | 0 +b |1 есть суперпозиция по отношению к базису {| 0 ,|1 }, но не является таковой по отношению к базису {a | 0 +b |1 ,b | 0 −a |1 }.

Кроме того, поскольку результат измерения суперпозиции всегда носит

которое при измерении в некотором определенном базисе дает предсказуемый результат, тогда как в другом базисе даст случайный результат: фотон с

поляризацией | = 12 (|↑ + |→) ведет себя предсказуемо, если измерительное

устройство наделено так называемым базисом Адамара {| ,| } , однако, обнаружит случайный результат при измерении в стандартном базисе {|↑,|→}. Вполне приемлемо думать о суперпозиции | v = a | 0 +b |1 как о таком состоянии, в котором система в каком-то смысле находится в состоянии | 0 и одновременно в состоянии |1 , но не нужно воспринимать это слишком

12 (| 0 + i |1 ) , являются различными состояниями и ведут себя по разному в

разных ситуациях.

Учитывая, что кубиты могут принимать любое из возможных бесконечно многих состояний, можно надеяться, что одиночный кубит может хранить очень много классической, битовой информации. Однако, особенности квантовых измерений строго ограничивают количество информации, которую можно извлечь из одиночного кубита. Информация из кубита может быть извлечена только путем измерения, а любое измерение приводит только к одному из двух возможных результатов, связанных с двумя базисными состояниями, заложенными в измерительном устройстве. Таким образом, одиночное измерение в лучшем случае позволяет извлечь только один бит классической информации. Поскольку измерение меняет исходное состояние,

132

невозможно выполнить два измерения первоначально исходного состояния кубита. Более того, позже будет показано, что неизвестное квантовое состояние невозможно клонировать: невозможно измерить состояние кубита дважды, пусть даже непрямым путем – скопировать состояние кубита, а затем измерить его копию.

Итак, хотя кубит может находиться в бесконечно большом числе различных возможных суперпозиционных состояний, извлечь из него путем измерения в лучшем случае можно лишь один классический бит информации.

2.5. Квантовый протокол передачи ключа

Квантово-механические представления, изложенные в предыдущих параграфах этой главы, уже достаточны для первого приложения этих представлений к обработке квантовой информации: речь пойдет о квантовом протоколе передачи ключа, который с целью безопасности использует квантовые эффекты и у которого нет классического аналога.

Ключи – это последовательности случайных битов или чисел, взятых из достаточно большого их набора. Ключи обеспечивают секретность в большинстве криптографических протоколов, а также обеспечивают аутентификацию и секретный обмен информацией. По этой причине договоренность о ключах для установки надежной связи между партнерами играет ключевую роль в криптографии. Различают два класса ключей: симметричные ключи и системы с открытым ключом. Оба класса ключей широко используются, часто в комбинации друг с другом, в разнообразных ситуациях от безопасной транзакции в коммерческих операциях до приватных сообщений через открытые публичные сети.

Системы с открытым ключом содержат известный всем ключ и частный закрытый ключ, сохраняемый его владельцем. Симметричные ключи содержат единственный ключ или пару ключей, легко вычисляемых друг из друга, которые известны всем заинтересованным партнерам и никому более. Ответственность за сохранность ключа лежит на всех допущенных к ключу партнерах.

Квантовый протокол передачи ключа установит симметричный ключ между двумя партнерами, известными в криптографическом сообществе как Алиса и Боб. Этот протокол обеспечивает секретность везде там, где используются классические протоколы, например, Диффи – Хелмана [5]. И квантовый протокол и Диффи – Хелмана преследуют одни и те же цели, однако, защищенность квантового протокола обеспечивается

133

фундаментальными особенностями квантовой механики, в то время как классические протоколы опираются на вычислительные сложности для перехватчика при решении определенных математических задач. Например, протокол Диффи – Хелмана показал себя надежным при всех известных классических атаках, однако, лежащая в его основе задача о генерической сложности проблемы дискретного логарифма разрешима на квантовом компьютере.

Самый первый квантовый протокол, известный как ВВ84, был разработан в 1984 году Ч. Беннетом и Дж. Брассаром [6, 7]. Протокол ставит перед собой задачу создать секретный ключ, состоящий из случайной последовательности битов 0 и 1, известный только Алисе и Бобу, которые могут пользоваться им для таких криптографических целей как обмен секретными посланиями и для обнаружения взлома их канала связи (рис. 9). Протокол ВВ84 дает уверенность Алисе и Бобу, что не обнаружив взлома канала связи при установке ключа, с высокой вероятностью можно считать ключ секретным. Протокол, однако, не гарантирует, что они преуспеют в установке личного секретного ключа.

Пусть Алиса и Боб связываются друг с другом по двум каналам: обычному двунаправленному классическому каналу и по однонаправленному квантовому каналу. Квантовый канал позволяет Алисе отправлять последовательность одиночных кубитов Бобу. В нашем рассмотрении предположим, что кубитам соответствуют состояния поляризации отдельных фотонов. Оба канала могут контролироваться Евой (рис. 9).

Рис. 9. Алиса и Боб хотят иметь общий личный ключ, не известный Еве.

Чтобы начать процесс установки общего с Бобом личного ключа Алиса пользуется квантовыми или классическими устройствами для генерации случайной последовательности классических битов. Случайное подмножество

134

этой последовательности и будет окончательным вариантом личного ключа. Алиса посылает Бобу по квантовому каналу последовательность битов, кодируя каждый бит в виде квантового состояния фотона путем произвольного выбора одного из согласованных с Бобом базисов: стандартного

Боб измеряет состояние каждого полученного им по квантовому каналу фотона, выбирая для этого случайным образом один из этих двух базисов. По классическому каналу связи Алиса и Боб убеждаются, что Боб получил каждый фотон, посланный Алисой, после чего Алиса и Боб сообщают друг другу по тому же классическому каналу, какой именно базис каждый из них использовал для кодирования (Алисой) и декодирования (Бобом) каждого фотона. Если выбор базиса совпал у обеих сторон, значение бита, полученного Бобом, совпадает со значением бита, закодированного Алисой. Значение этого бита станет частью окончательного варианта личного ключа. Если оказалось, что ими используются разные базисы, то вероятность совпадения уменьшится до 50%. Без взаимного информирования о битах друг друга по классическому каналу нет другого пути у Алисы и Боба узнать, какие биты совпадают, а какие нет. Они отбрасывают все посланные биты, для которых используемые ими для кодирования и декодирования базисы не совпадают. У Алисы и Боба остается в среднем 50% совпадающих битов из всех отправленных. Они и образуют последовательность битов в окончательном варианте личного ключа партнеров.

До сих пор не предполагалось, что Ева прослушивала квантовый канал, по которому передавались фотоны от Алисы к Бобу. Еве может быть известно, какими базисами для кодирования и раскодирования пользуются партнеры. Пусть Ева начала прослушивать квантовый канал по время использования его партнерами для установления личного ключа. Ева перехватывает фотон, закодированный Алисой, не зная каким именно базисом пользовалась Алиса, выбирает произвольным образом базис для его декодирования и отправляет фотон дальше по квантовому каналу Бобу. Ева может только случайно угадать базис для декодирования, а в 50% случаев его не угадает. В этом последнем

135

случае Ева разрушит квантовое состояние фотона, посланного Алисой Бобу, в результате чего Боб получит фотон не в том состоянии, в котором он был отправлен Алисой. Сравнивая состояние этого фотона по открытому каналу с Алисой, партнеры поймут, что их квантовый канал прослушивается. Алиса и Боб отбрасывают этот бит, не включают его в последовательность битов в окончательном ключе. Если Ева перехватывала и декодировала все биты, отправленные Алисой, то у партнеров остается приблизительно 25% битов из всех отправленных Алисой для формирования безопасного ключа. Надежность его гарантируется квантовым ограничением в виде невозможности клонировать кубит. В противном случае Ева могла бы измерять состояние фотона не нарушая его, а Алиса и Боб не знали бы, что их квантовый канал связи прослушивается.

Таким образом, описанный выше режим формирования личного ключа между двумя партнерами гарантируется квантово-механическим законом о невозможности клонирования состояния кубита. Отметим, что известны другие стратегии атаки линий связи, в том числе с использованием для передачи информации кубитами более сложной структуры, находящимися в так называемых запутанных состояниях. Множественные кубитные системы рассматриваются в следующей главе.

2.6. Пространство состояний одиночного кубита

Пространство состояний классической или квантовой физической системы это набор всех возможных состояний системы. В зависимости от того, какие именно свойства системы рассматриваются, состояние системы может включать в себя любые сведения о координатах, импульсах, поляризации, спинах, энергии и любых других свойствах всех частиц системы. Когда мы рассматриваем только состояния поляризации одиночного фотона, пространство состояний фотона есть все его возможные поляризации. В общем случае пространство состояний одиночного кубита, не зависимо от того как он

комплексное число, по модулю равное единице.

2.6.1. Фазы относительные и глобальные

Тот факт, что одно и то же квантовое состояние представимо более чем одним вектором, означает, что есть критически важное различие между

136

комплексным векторным пространством, в котором мы записываем значения кубита, и собственно пространством квантового состояния. Мы уменьшили некую неопределенность, потребовав чтобы векторы, представляющие квантовые состояния, были бы единичными векторами, однако, некоторая неопределенность все еще осталась: единичные векторы, представляющие одно

ито же состояние, эквивалентны с точностью до умножения на комплексное число, по модулю равное единице. Множитель, которым отличаются два вектора, представляющие одно и то же состояние, называют глобальной фазой

ион не имеет физического значения. Будем пользоваться отношением

двумерных комплексных вектора рассматриваются как эквивалентные, если они отличаются лишь множителем, называется комплексным проективным пространством размерности единица и обозначается СР1.

Физически важной величиной является относительная фаза состояния одиночного кубита a | 0 +b |1 . Относительная фаза суперпозиции a | 0 +b |1 в стандартном базисе есть значение угла в комплексной плоскости между двумя комплексными числами a и b . Более точно, относительная фаза есть

одинаковые амплитуды, но отличающиеся относительной фазой, представляют различные состояния.

Не путать физически значимую относительную фазу и физически несущественную глобальную фазу. Хотя вектор квантового состояния при умножении на единичную константу не изменяется, относительные фазы в суперпозиции представляют различимые квантовые состояния: хотя

же состояние. Мы всегда должны быть осведомлены об эквивалентности при интерпретации вычисляемых нами квантовых состояний.

Некоторым часто встречающимся одиночным кубитам присвоены следующие обозначения:

.

137

Базис {| + , | − } называют базисом Адамара. Когда речь шла о поляризации фотонов, для адамаровского базиса использовались обозначения {| ,| } .

2.6.2. Геометрические образы состояний одиночных кубитов

Мы будем в основном пользоваться векторами для представления квантовых состояний кубитов. Вместе с тем, полезно иметь геометрические модели, позволяющие однозначно соотносить состояния одиночного кубита с выделенными точками в пространстве. Приведем две таких геометрических модели. Вторую из рассматриваемых моделей, так называемую сферическую модель Блоха, используем позже для иллюстрации квантовых преобразований одиночного кубита. Эти обе модели позволяют представить себе пространство СР1 в виде сферы. Сначала мы покажем, что такое пространство можно рассматривать как расширенное комплексное пространство С с некоторой дополнительной точкой, обозначаемой традиционно значком ∞.

Расширенная комплексная плоскость С {∞}. Соответствие между набором всех комплексных чисел и состояний одиночного кубита записывается в виде

a |0 +b |1 b/a =α

и его обратном соответствии

добиться однозначного соответствия, нужно на комплексной плоскости

Приведем еще одну полезную модель, связанную с предыдущей и вместе с тем отличающуюся от нее.

138

Сфера Блоха. Каждое состояние в предыдущей модели с использованием комплексного числа покажем на единичной сфере в декартовой

и требуя соответствия ∞ (0,0,−1) .

Рис. 10. Расположение отдельных состояний одиночного кубита на поверхности сферы Блоха.

Взаимное соответствие отдельных состояний одиночного кубита на сфере Блоха будет таким:

Одно из преимуществ блоховского представления заключается в легкости считывания всех возможных базисов одиночного кубита, а ортогональные состояния соответствуют диаметрально противоположным точкам на сфере, каждый диаметр блоховской сферы соответствует некому базису квантового состояния одиночного кубита. Иллюстрация, приведенная на рис. 8, отличается от блоховского представления тем, что углы на этом рисунке составляют ровно половину от углов на сфере Блоха: угол между двумя состояниями на рис. 8 входит непосредственно в выражение внутреннего произведения этих состояний, тогда как на сфере Блоха этот угол в два раза больше.

139