Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

После инициализации каждого вспомогательного кубита в состоянии | 0 к каждому из них применяется вентиль Адамара с целью перевода этого

первом шаге считывания λm фаза (e−iλm t )2k отображается на k-ый вспомогательный кубит:

(|0 +|1 ) |ψm →(|0 +e−2k iλmt |1 )|ψm .

Наконец, обратное преобразование Фурье (§ 6.6, рис. 17; § 7.4.1.3) применяется к вспомогательному регистру конвертируя состояние в базисное | x1x2... xT ,

которое соответствует бинарному представлению λmt /2π ≈ 0.x1x2... xN . После выполнения алгоритма измерение на первом регистре с высокой вероятностью выдаст бинарное представление собственной энергии λm . Можно показать, что

грубо говоря, каждый вспомогательный кубит добавляет еще один знак в точности.

Рассмотрим случай когда второй регистр содержит не одно собственное состояние, как на рис. 22, а суперпозицию состояний ∑m am |ψm . В этом случае

вычисление фазы даст ∑m am λm t /2π |ψm , где λm есть приближенное значение

собственной энергии с фиксированной запятой. После измерения на первом регистре второй регистр выдаст соответствующее собственное состояние. Вероятность получить собственное состояние есть | am |2 , т. е. равно

квадрату перекрывания между этим собственным состоянием и исходной суперпозицией. Именно поэтому возможно получить различные собственные состояния и соответствующие собственные энергии гамильтониана H в результате повторных прогонов КАВФ с соответствующим образом выбранными начальными состояниями |φ , акцентируя внимание на подготовке исходного состояния, как это мы обсудим в § 7.4.2.1.

Квантовый алгоритм вычисления фазы тесно связан с алгоритмами моделирования гамильтонианов благодаря контролируемым преобразованиям U 2k (рис. 22). Каждое из этих преобразований может быть декомпозировано в последовательность схем, сначала декомпозируя U 2k в последовательность схем, используя методы моделирования гамильтониана из раздела 7.4.1, затем

240

превращая каждую схему в контролируемую с использованием вспомогательного кубита. В результате, улучшения в квантовых алгоритмах моделирования гамильтониана ведут в итоге к совершенствованию реализации КАВФ. Альтернативные подходы в этом же направлении связывают с квантовым запоминающим устройством с произвольной выборкой/КЗУПВ

(Quantum Random Access Memory/QRAM) [274].

В стандартной версии КАВФ точность вычисления собственных значений определяется числом вспомогательных кубитов. Их число можно существенно уменьшить [45, 275], а результат получить с прежней точностью, если использовать итеративный КАВФ/ИКАВФ (Iterative PEA/IPEA). Вычисление фазы можно улучшить путем изменения углов вращения в квантовых схемах.

Еще один путь улучшения КАВФ заключается в использовании техники байесовского вывода [276, 277]. На этом пути для углов вращения на следующем цикле используется информация, полученная на предыдущем цикле. Такой байесовский подход, как было продемонстрировано недавно [278], обеспечивает устойчивость к шумам и декогеренции.

Использование оператора временной эволюции при вычислении фазы не является необходимым требованием для КАВФ. Использовались и другие унитарные конструкции [279 – 281], кодирующие спектр гамильтонианов,

фаза конструкции может быть использована для извлечения собственных значений H . Конструкция e−iarccos( H /λ) может быть имплементирована с использованием квантового оператора блужданий [189], который требует меньше схем по сравнению с оператором временной эволюции.

7.4.1.3. Квантовое преобразование Фурье

Квантовое преобразование Фурье также уже рассматривалось достаточно подробно ранее (§ 6.3). Многие важные квантовые алгоритмы, включая известный алгоритм факторизации Шора [32], используют КПФ [282] в качестве подпрограммы. КПФ касается непосредственно известной проблемы фурреляции (problem of Forrelation) [283], о которой говорят, что эта проблема оптимально разграничивает квантовые вычисления от классических, или иначе проблема фурреляции касается максимальной мощности квантовых вычислений (Forrelation “captures the maximum power of quantum computation” [283]). КПФ является последним шагом, предшествующим измерению

241

вспомогательных кубитов, содержащих двоичное представление вероятного собственного значения энергии.

Перейдем к двоичному представлению

j = j12n−1 + j2 2n−2 +... + jn 20 =: j1 j2... jn

с n разрядами, где N = 2n . Это позволяет записать состояние | j как мультикубитное состояние | j1, j2 ,..., jn . Теперь КПФ может быть записано следующим образом:

QFT | j1, j2,..., jn = 21n/2 ((|0 +e2πi0. jn |1 )(|0 +e2πi0. jn−1 jn |1 ) (|0 +e2πi0. j1 j2... jn |1 )),

где 0. j1 j2... jn обозначает двоичную дробь.

Компьютерная реализация КПФ предполагает действие последовательности адамаровских вентилей H и вращений R, как показано на рис. 23. Следующие операции выполняются над каждым кубитом, последовательно сверху вниз: адамаровский вентиль, а вслед за ним вращения,

контролируемые кубитами снизу. Угол вращения вентиля Rk есть e2πi/2k . Как

видно из рис. 23, конечное состояние регистра соответствует приведенному выше произведению сомножителей, но в обратном порядке.

Рис. 23. Схема квантового преобразования Фурье для четырех кубитов. Схемы SWAP, обращающие в самом конце алгоритма последовательность

следования состояний, не показаны; схемы Rk реализуют вращение e2πi /2k ; обозначает двоичную дробь.

242

Описанная процедура КПФ обычно является подпрограммой в других алгоритмах. На квантовых схемах она обычно обозначается как QFT , а

обратное квантовое преобразование Фурье как QFT† .

КПФ находит также применение в моделировании химической динамики. Квантовый метод «расщепленного оператора» [75, 273] аналогичен классической технике моделирования точной волновой функции [176]. В процессе моделирования члены кинетической и потенциальной энергии взаимодействия диагонализуются в результате применения КПФ, что приводит к квантовому ускорению при решении задач в формулировке вторичного квантования [40, 75, 254, 284].

7.4.2. Вычисление энергии основного состояния квантово-химических гамильтонианов

Проблема электронной структуры молекул побуждает многочисленные, нарастающие лавинообразно компьютерные расчеты в квантовой химии. Важность этой проблемы проистекает из того факта, что знание собственных энергий и волновых функций электронов в молекулярных системах существенно и принципиально важно для понимания, интерпретации и предсказания таких технологически важных свойств веществ как скорости реакций, энергии связи, пути превращений и многих других. В частности, поверхность потенциальной энергии в зависимости от координат ядер атомов в основном состоянии молекулярной системы часто бывает достаточной для вычисления перечисленных свойств.

В конце 90-х квантовые химики начинают изучение подходов к вычислению статических свойств молекулярных систем на квантовых компьютерах опираясь на уже в значительной степени разработанную технику моделирования динамики молекул. Стандартные подходы требуют прежде всего подготовки квантового компьютера в нужном квантовом состоянии, например, для моделирования основного состояния молекулярной системы с последующим расчетом интересующего нас свойства, например, энергии основного состояния, используя КАВФ. В этом разделе мы рассмотрим многие относящиеся к этой тематике вопросы.

7.4.2.1. Подготовка состояний

Первым шагом в реализации любого квантового алгоритма является подготовка начального состояния системы. Успешная реализация алгоритма вычисления основного состояния молекулярной системы зависит от качества

243

подготовки ее начального состояния. Процедура его подготовки связана с классическим приближением для основного состояния гамильтониана и должна характеризоваться двумя свойствами. Во-первых, начальное состояние должно отличаться значительным перекрыванием с основным состоянием исследуемого гамильтониана. Во-вторых, подготовка начального состояния на квантовом компьютере должна быть эффективной. В подготовке начального состояния используются методы Хартри – Фока (§ 1.3.6) и связанных кластеров (§ 1.3.7.5), а также адиабатические методы квантовой эволюции. Подготовка начального состояния особенно важна в случае систем с сильной корреляцией электронов.

В своей пионерской работе Залка [41] ввел дискретизацию волновой функции и инициализировал моделирование ее посредством управляемых вращений. Гровер и Рудольф [285] предложили аналогичный алгоритм подготовки состояния, соответствующего эффективно интегрируемому распределению вероятностей. Подобная процедура оказалась слишком затратной на практике.

Абрамс и Ллойд [38] рассмотрели вопрос о подготовке начального состояния более подробно и предложили конкретные процедуры инициализации. Они заявили, что подготовка начального состояния концептуально проще в представлении вторичного квантования (§ 1.3.7.2), в котором фоковское состояние представляется простым произведением состояний кубитов в состояниях {| 0 ,|1 }. Их алгоритм начинается со всех обнуленных кубитов | 0...0 . Статистика Ферми учитывается автоматически благодаря операторам рождения и уничтожения. В случае представления первичного квантования вначале необходимо инициализировать полностью антисимметричное состояние. Требование антисимметризации может быть удовлетворено с помощью подходящего алгоритма без обработки вспомогательных кубитов сделать всю процедуру обратимой [286]. Процедура антисимметризации была улучшена в [279] путем использования сортирующей сети и оптимизации компонентов алгоритма. Этот алгоритм достиг в пересчете

обеспечило, соответственно, полиномиальное и экспоненциальное улучшение по сравнению с предыдущим алгоритмом.

Выбор начального состояния для вычисления энергии основного состояния системы рассматривался также в [45]. ХФ-состояние обычно служит стартовым состоянием при подготовке начального состояния для расчетов на

244

квантовых компьютерах, однако, это состояние не всегда обеспечивает достаточное перекрывание с основным состоянием исследуемого гамильтониана. Для небольших молекул ХФ обеспечивает хорошее приближение для основного состояния, например, перекрывание равно 0.77 в случае FeMoco [287]. Изучались другие подходы в случаях, когда ХФ оказывался неудовлетворительным, в частности, для подготовки начального состояния предлагалось использовать МК ССП [46] (1.3.7.3). Такие состояния имеют ненулевое перекрывание с полиномиальным числом компьютерных базисных состояний, для которых известны эффективные методы подготовки [288]. В дополнение к тому, что МК ССП состояния характеризуются лучшим, по сравнению с ХФ, перекрыванием с основным состоянием исследуемого гамильтониана, они учитывают также электронную корреляцию, столь важную при расчете возбужденных состояний.

С целью исследовать химические реакции за пределами Борна – Оппенгеймера предлагалось при подготовке начального состояния учесть ядерную волновую функцию (§ 1.2) [75]. Одновременный учет ядерной и электронной волновых функций в химических реакциях с участием четырех и более частиц оказался более эффективным по сравнению с ПБО.

Предложен метод адаптивного построения конфигурационного взаимодействия/АПКВ (Adaptive Sampling CI/ASCI) [287, 289]. Генерируя сравнительно небольшое число детерминантов, метод АПКВ позволяет учесть не менее 90% от точной волновой функции. Подготовка начального состояния для расчета на квантовых компьютерах молекул с открытой электронной оболочкой рассмотрена в [233].

Метод адиабатической подготовки состояния/АПС (Adiabatic State Preparation/ASP) [45] является методом преобразования первоначально подготовленного ХФ состояния в волновую функцию ПКВ основного состояния. Идея этого подхода восходит к методу адиабатических квантовых вычислений (§ 7.5.3.1). При использовании метода АПС в регистре вначале инициализируется ХФ состояние. Если гамильтониан записан в представлении вторичного состояния, то ХФ состояние легко записать в представлении кубитов [45].

7.4.2.2. Моделирование гамильтонианов в квантовой химии

Независимо от ллойдовского алгоритма квантового моделирования [37], Залка [273] предложил квантовый алгоритм моделирования одно- и многочастичных квантовых систем, основанный на дискретизации волновой

245

функции посредством l-битного квантового регистра. В результате гриновская функция квантовой частицы аппроксимируется произведением экспонент с потенциальной и кинетической энергией в показателе экспонент. Член, соответствующий потенциальной энергии, диагонален, так что его можно напрямую моделировать. Члены кинетической энергии могут быть диагонализованы с использованием квантового преобразования Фурье. Похожие идеи предлагались и Виснером [40].

Вэто же время Абрамс и Ллойд [99] обсуждают идею моделирования гамильтониана в записи первичного и вторичного квантования с использованием декомпозиции Троттера и блочной диагонализации. Они отметили, что гамильтониан выражается проще в записи первичного квантования, однако, в записи вторичного квантования для представления квантового состояния требуются меньшие базисные наборы.

Аспуру-Гузик с коллегами [45], по-видимому, первыми осознали, что квантовые компьютеры могут быть использованы для вычисления энергии основного состояния молекулярных систем. Эта программная публикация фактически заложила основы всех дальнейших исследований в области квантового моделирования в квантовой химии, включая выбор орбитальных базисов, отображения гамильтонианов в кубиты, моделирования и дальнейшего вычисления энергии. Для отображения многочастичной системы в виде дискретизованного гамильтониана нужно пройти несколько этапов.

Во-первых, нужно выбрать способ отображения физического гамильтониана в кубиты.

Во-вторых, в классической квантовой химии обычно принято упрощать гамильтониан по размерности, с каковым проще работать. Приближение Борна – Оппенгеймера позволяет заморозить ядерные степени свободы, оставив лишь электронные. Большинство разработанных квантовых алгоритмов приспособлены к расчетам в ПБО.

Втретьих, нужно сделать выбор между представлениями гамильтониана в первичном или вторичном квантовании. Классические методы моделирования эволюции гамильтониана, записанного в первичном квантовании, используются редко из-за сложностей с хранением волновой функции.

Наконец, нужно выбрать подходящий базисный набор. Обычно используется гауссов базис [300] (§ 1.3.4), например, базис STO-nG [192]. Базис

ввиде плоских волн обычно рассматривался как неприемлемый из-за необходимости учитывать их огромное число с целью достаточно точно аппроксимировать волновую функцию, однако, он позволяет упростить

246

представление гамильтониана. Сейчас же ситуация меняется [281, 301, 302]. В работе [301] показано, что представление электронного гамильтониана в базисе плоских волн требует лишь O(N 2 ) членов, а в гауссовом базисе – O(N 4 ) . Ситуация была уточнена в [302], а в [303] гауссов базис объединили с базисом в виде волновых пакетов.

Перечисленные этапы отображения молекулярной системы открывают

используется преобразование Джордана – Вигнера (§ 7.7.1.1) и даются в явном виде формулы для вычисления матричных элементов. Применена эта техника к Н2: все операции записываются через элементарные стандартные вентили и с их помощью реализуется квантовый алгоритм. Отметим, что молекулы Н2 и LiH вместо с молекулами ВеН2 и Н2О традиционно рассматриваются в качестве стандартных молекулярных систем, на которых тестируются все новые алгоритмы и новые подходы в квантовом моделировании в квантовой химии на квантовых компьютерах (см. Приложение).

Предложено также вести моделирование в реальном пространстве [75]. Опираясь на работы Залка [41] и Виснера [40], кинетические члены гамильтониана моделировались с использованием КПФ с имплементацией последовательности вентилей и оценкой вычислительной сложности такого алгоритма.

В работе [254] выбран другой подход с использованием техники моделирования разреженных матриц. Представление гамильтониана в базисе слэтеровских детерминантов (матрица КВ) является разреженным и поэтому моделирование можно проводить методами, изложенными в разделе 7.4.1. Эта техника более эффективная по сравнению с представлением вторичного квантования фоковских состояний.

С разработкой квантового моделирования началось интенсивное изучение разнообразия вариантов вычислительных ресурсов [48, 186, 305]. Общее заключение в итоге оказалось оптимистическим – временные расходы оказалось возможным значительно уменьшить, в том числе и по таким показателям как число электронов и спин-орбиталей [48, 49, 306]. Прежние оценки [47] были существенно уменьшены.

Значительные исследования проведены по уменьшению числа необходимых вентилей при синтезе схем [76, 281, 302, 307, 308] и при моделировании гамильтонианов [188, 189, 197, 266, 270].

247

Квантовые алгоритмы нашли применение в таких, все еще редких для традиционной квантовой химии расчетах как релятивистская динамика [309, 310] и квантовая динамика за пределами ПБО [75, 76, 311].

Хронологический обзор, согласно [1], квантовых алгоритмов моделирования гамильтонианов в квантовой химии показан на рис. 24.

Рис. 24. Хронологический обзор квантовых алгоритмов моделирования гамильтонианов в квантовой химии [1]. Слева алгоритмы сгруппированы по используемым методам моделирования. Справа по годам показано улучшение моделирования временной эволюции. Стрелки слева направо показывают какие именно подходы привели к улучшению качества моделирования.

Впубликациях (сверху – вниз) [41, 40, 99, 75, 254, 191, 76, 198 ] использовалось представление гамильтониана в первичном квантовании, а в остальных – во

вторичном квантовании.

248

7.4.2.3. Измерение свойств многоэлектронных систем

Последний этап в квантово-химических алгоритмах заключается в извлечении информации об изучаемой молекулярной системе из ее волновой функции. Извлекаемая информация включает энергии основного и электронновозбужденных состояний, колебательных и электронно-колебательных состояний, амплитуд рассеяния, зарядовой плотности и k-частичных корреляций [38]. В принципе, возможно извлечь любые физические свойства или средние значения физически наблюдаемых величин.

Наиболее важными, как обычно полагают, являются сведения об энергии основного состояния. Залка [41] предложил подход к изучению нужного состояния системы и показал каким образом можно извлечь сведения из просчитанной волновой функции. Лидар и Ванг [44] использовали его технику для вычисления термических скоростей химических реакций. Вскоре Абрамс и Ллойд [38] усовершенствовали эту технику и применили ее непосредственно к расчету статических свойств квантовых систем. В 2005 году Аспуру-Гузик с коллегами [45] адаптировали применение развитых методов к проблеме расчета электронной структуры молекул. Это позволило сократить число вспомогательных кубитов в квантовом алгоритме вычисления фазы с 20-ти до 4-х и таким образом реализовать квантовые алгоритмы применительно к задачам квантовой химии на классическом компьютере [45]. Эта работа показала, что даже при использовании весьма «скромных» квантовых компьютеров вычисление энергии основного состояния H2O и LiH можно выполнить с точностью, превосходящей достижимую на классических компьютерах. Существенным этапом в таких вычислениях является КАВФ (§ 7.4.1.2).

Не так давно для вычисления энергии основного состояния была предложена итерационная версия КАВФ [279]. В ее основе лежит предположение, что существует верхняя граница энергии основного состояния, скажем, как в классическом вариационном методе, которая гарантировано лежит ниже энергии первого возбужденного состояния.

КАВФ может быть также использован для вычисления энергии возбужденных состояний. Весьма совершенный подход предложен в [316].

Квантовый алгоритм для вычисления энергии основного состояния предполагает использование техник подготовки исходного состояния (§ 7.4.2.1) и моделирования гамильтониана (§ 7.4.2.2). Опираясь на новейшие разработки в этих направлениях, Бабуш с коллегами [281] оценили вычислительные ресурсы, необходимые для расчета (недостижимых при

249