Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

Рис. 21. Известные взаимоотношения между интересующими нас классами сложности. Обращает на себя внимание, что некоторые классы лежат внутри других классов, что естественно усложняет иерархизацию. Обратите внимание, что P#P и полиномиальная иерархия PH являются мощными классами сложности и имеют прямое отношение к основным результатам, достигнутым в теории квантовой сложности [1].

Развитие квантовых вычислений в последние годы породило также исследования в направлении квантовых обобщений этих классов сложности. В частности, класс сложности квантовый полиномиальный тайминг с ограничением ошибок BQP (Bounded-error Quantum Polynomial-timing)

относится к тем проблемам, которые могут быть эффективно решены на квантовом компьютере. Класс сложности QMA (Quantum Merlin Arthur) – это квантовый аналог NP в классической теории сложности. Он связан с BQP так же, как NP связан с P. Класс QMA охватывает такие проблемы, для которых, если найдено возможное решение в виде квантового состояния, то можно использовать квантовый компьютер для верификации этого решения. Проводя параллель с вышесказанным для классических компьютеров, если проблема относится к классу QMA-полный, то скорее всего нет эффективного решения даже на квантовом компьютере. Класс BQP, как квантовый аналог #P, включает важные физические проблемы [67]. Нужно отметить, что взаимоотношения между различными классами сложности остаются в значительной мере открытыми, лишь некоторые из них надежно установлены.

230

На пересечении между теоретическими основами компьютерных вычислений и физикой конденсированных систем возникла исследовательская программа под условным названием «Теория сложности квантовых гамильтонианов» [205, 206]. Надеемся, этот проект откроет новые перспективы в решении открытых сложных проблем в квантовой физике и квантовой химии. Заметим, уже было показано, что вычисление энергии основного состояния многих простых систем с локальным взаимодействием относится к классу сложности QMA-полный [207, 208]. Упомянутым в начале § 7.3 трем проблемам присвоены следующие классы сложности: 3D проблемы Изинга относятся к классу NP-полный [209], вычисление энергии основного состояния модели Бозе – Хаббарда относится к классу QMA-полный [210], к этому же классу относится и нахождение универсального функционала в ДФТ [65]. Обратим внимание на весьма обстоятельный список проблем, отнесенных к классу QMA-полный [211].

7.3.2. Теория сложности в квантовой химии

Как хорошо известно, основной проблемой в квантово-химических расчетах электронного строения молекул является обращение с точной волновой функцией молекулы, которое относится к задачам экспоненциальной сложности. В § 7.2.1 рассматривались используемые в классической квантовой химии подходы к этой проблеме. В этом параграфе мы обсудим более строгие результаты и оценки вычислительной сложности задач, возникающих при расчете электронного строения. Естественно, класс сложности QMA-полный, как упоминалось выше, характерный для вычисления энергии основного состояния систем с локальным взаимодействием, вызывает сомнения в отношении привычных методов расчета электронной структуры молекул [212]. Действительно, в отличие от поиска универсального функционала в ТФП [65], проблема проверки действительно ли некоторый набор двухэлектронных редуцированных матриц плотности/РМП-2 (two-electron Reduced Density matrices/2-RDM) эквивалентен многоэлектронной волновой функции, известная как проблема N-представимости, также было доказано, что эта проблема проверки относится к классу QMA-полный [66]. В отношении метода ХФ, который развит для нахождения наилучшего однодетерминантного приближения к полной волновой функции, было показано, что он относится к классу NP-полный [65]. Этот же класс сложности сохраняется и для трансляционно инвариантных систем [213].

231

Хотя маловероятно, что будут найдены общие и достаточно эффективные (квантовые или классические) алгоритмы для решения проблем классов сложности QMA-полный или NP-полный, на практике известны весьма успешные эвристические методы. Например, в случае приближения ХФ соответствующая итерационная процедура ССП является алгоритмом локального поиска, обеспечивающим сходимость к локальному оптимуму. Это может быть, от случая к случаю, и глобальный оптимум, что требует, однако, доказательства, а вот задача систематического нахождения глобального минимума относится к классу сложности NP-полный. Хотя проблема N-представимости в общем случае относится к классу QMA-полный, эвристические методы оптимизации РМП2, тем не менее, во многих случаях приводят к полезным результатам [214, 215]. На квантовых компьютерах стратегии вычисления собственных энергий и собственных состояний в задачах, относящихся к наиболее трудным классам сложности, связывают с возможностью кодирования полной волновой функции с помощью мультикубитных перепутанных состояний. Например, ВКА может начинаться с подготовки пробной волновой функции, которую трудно представить себе в классической квантовой химии, такой как в теории связанных кластеров [216]

Не касаясь сейчас проблем, относящихся к наиболее непробиваемым задачам, есть, однако, много ситуаций, решаемых эффективно на квантовых компьютерах. Это прежде всего касается эволюции волновых функций во времени (§ 7.2.3.2). Несмотря на то, что выявление универсального функционала в ТФП относится к классу QMA-полный [65], задача нахождения эффективного потенциала Кона – Шэма вполне доступна квантовому компьютеру [217] и поэтому относится к классу сложности BQP. В табл. 2 перечислены типичные проблемы квантовой физики и квантовой химии по их отношению к классам сложности.

7.3.3.Теория сложности в вибронике молекул

Вэлектронно-колебательной спектроскопии молекул большой интерес вызывают колебательные переходы между двумя электронными состояниями молекулы. Такие процессы удовлетворительно описываются принципом Франка – Кондона/ПФК (Frank – Condon Profile/FCP) [218], который учитывает вибронные моды в гармоническом режиме. Многие важные свойства молекул определяются их колебательными модами, в частности, оптические свойства. Ввиду значительной сложности экспериментальных исследований в этой области, компьютерное моделирование вибронных спектров молекул вызывает

232

немалый интерес. Квантовый алгоритм решения подобных задач приведем в § 7.5.3.2, сейчас же разработку подобных алгоритмов промотивируем путем обсуждения возможных ограничений с позиций теории вычислительной сложности.

Таблица 2 Распределение некоторых проблем квантовой физики и квантовой химии

по классам вычислительной сложности

При описания виброники молекул Душинский показал [219], что можно пользоваться линейным соотношением между начальными и смещенными нормальными координатами q и q′, соответственно,

q′=UDus q +d ,

где UDus есть вещественная матрица Душинского, а d есть вектор смещения. Показано [220], что такое преобразование соответствует унитарному вращению UˆDok бозонных лестничных операторов:

a′† =UˆDok† a†UˆDok ,

UˆDok = SˆΩ′† RˆU SˆΩDˆδ ,

где Dˆδ есть оператор смещения, зависящий от d , SˆΩ′ (SˆΩ ) есть оператор сжатия, параметры которого зависят от гармонических угловых частот перехода, а RˆU есть оператор вращения, соответствующий матрице UDus [221]. Распределение нетривиальных частот перехода ω при 0°К подчиняется ПФК:

где | 0 есть основное состояние начального вибронного потенциала, | m есть собственные моды конечного потенциала с собственными энергиями m = (m1,m2 ,...,mM ) , где M = 3N – 6 есть число степеней свободы вибронных мод N-атомной молекулы. Набор {mk } включает все возможные конфигурации фононов, приводящие к разрешенным переходам энергии ωvib . Франк-кондоновский интеграл m |UˆDok | 0 есть таким образом сумма по всем

фононным конфигурациям, дающим вклад в частоту ω . Этот интеграл есть сумма соответствующих произведений, равная перманенту матрицы, определяемому как

n

perm(M ) = ∑∏mi,σ(i) ,

σ Sn i=1

что фактически эквивалентно значению определителя, все слагаемые которого берутся со знаком «плюс».

Несмотря на подобие между перманентом и определителем матрицы эти обе функции демонстрируют коренное различие между соответствующими классами сложности вычислений. Если детерминант может быть эффективно вычислен за O(n3 ) шагов методом исключений по Гауссу, перманент матрицы не инвариантен по отношению к операциям над строками. Вычисление перманента матрицы относят к классу сложности P# [222]. Вспомним, что если проблемы класса NP соотносят с вопросом «Существует хотя бы одно решение, удовлетворяющее заданным критериям?», то проблемы класса P# связывают с вопросом «Сколько есть решений, удовлетворяющих заданным критериям?», ответить на который намного сложнее. В [222] показано, что точные и эффективные алгоритмы для вычисления перманента матрицы, даже если элементами матрицы являются нули и единицы, относятся к классу сложности P = NP. Можно ожидать, что задачи класса P# трудно поддаются вычислению. Действительно, наиболее известный на сегодня общий алгоритм вычисления перманента матрицы требует по крайней мере операций [223]. Частные случаи применения ПФК относятся к задачам линейной оптики [64, 224 – 227]. В [228] рассматривается алгоритм, предложенный для оптического квантового компьютера. Что касается нынешних оптических квантовых устройств, до сих пор не ясно, ускорят ли они решение задач линейной оптики, поскольку эти задачи не описываются гауссовыми или хааровскими унитарными матрицами

[229].

234

7.4. Алгоритмы квантового моделирования для помехоустойчивых квантовых компьютеров

Вэтом разделе будут рассмотрены наиболее важные достижения в области квантового моделирования применительно к расчету электронного строения молекул на доступных ныне квантовых компьютерах.

Впростейшем варианте квантовое моделирование предполагает два этапа. Сначала интересующая нас квантовая система должна быть отображена в кубиты квантового компьютера (§ 7.7.1). Далее унитарная эволюция моделируемой системы должна быть транслирована в последовательность элементарных операций. Пионерские предвидения квантового моделирования в начале 80-х Ю. Манина [26] и Р. Фейнмана [230] были мотивированы низкой эффективностью моделирования квантовых систем на классических процессорах. Их революционная идея состояла в том, что если перечисление числа классических битов для хранения волновой функции N-частичной

квантовой системы растет как O (exp(N )), то пересчет квантовых битов,

необходимых для обработки волновой функции такой системы, растет как O (N ). Обозначение O (N ) указывает на то, что асимпотическая верхняя граница

перечисления используемым алгоритмом линейна по N . Тильда сверху далее, O (N ), означает полилогарифмическое поведение. В противовес формально

строгим границам тильда внутри, O ( N ), будет использоваться для случая

эмпирических оценок. Вместе с тем, следует иметь в виду, что несмотря на поведение класса O (N ) волновая функция, сохраняемая в квантовых битах, не

может быть эффективно достижима и произвольным образом обработана. Если далее перейти к классическому описанию квантовой системы, потребуется повторить квантовое моделирование и компьютерную томографию, что приведет к существенному стиранию всех ранее сохраненных результатов. Вместо манипулирования с волновой функцией квантовое моделирование выполняют с целью вычисления средних значений [38] или же прибегают к моделированию с более сложными квантовыми алгоритмами [231, 232].

Квантовые компьютеры обеспечивают экспоненциальное уменьшение памяти при квантовом моделировании по сравнению с винтажными подходами к обработке и хранению волновой функции. Известны, конечно, классические методы вычисления средних значений, которые не предполагают хранение волновой функции, однако, возможность манипулировать дискретизацией волновой функции на квантовых компьютерах фактически открыла поток

235

новых результатов, полученных посредством квантовых алгоритмов в области квантовой химии [37, 40, 41, 75, 233].

Квантовые алгоритмы, обсуждаемые в этом разделе, предполагают использование помехоустойчивых квантовых компьютеров, которые теоретически работают без накопления ошибок. На практике, однако, квантовые компьютеры склонны к накоплению ошибок из-за ограниченной разрядности процессоров и нежелательного влияния окружающей среды. Описанные в этом разделе алгоритмы не подвержены этим ограничениям, но их функциональность была продемонстрирована лишь на сравнительно простых задачах [55, 234 – 236].

Исходя из того, насколько трудно в инженерном плане конструировать высокоточные схемы и стабильные кубиты, вполне резонно относиться скептически к перспективе реализации квантовых алгоритмов, требующих соблюдения когерентности. Оказывается, однако, что вполне возможно использовать коды для обнаружения и исправления ошибок [237]. Если коротко, то дело сводится к использованию большего числа физических кубитов с целью организовать набор из нескольких высоконадежных так называемых логических кубитов [238]. Соотношение между физическими и логическими кубитами, необходимое для надежных квантовых расчетов, зависит от практической реализации физических кубитов, особенности шумов и качества кода для исправления ошибок [237]. Под помехоустойчивостью квантового устройства понимают его способность выдавать измеряемые значения с высокой точностью [239]. ПУКК способны выполнять произвольно длинные схемы без потери точности.

Далее в разделе 7.4.1 обсуждаются методы моделирования квантовых систем на квантовом компьютере через реализацию эволюции во времени гамильтониана (§ 7.4.1.1) и вычисление его спектра посредством АВФ (§§ 7.4.1.2 и 7.4.1.3). В разделе 7.4.2 эти методы используются для решения таких задач как подготовка исходных состояний к расчету (§ 7.4.2.1), реализации методов моделирования (§ 7.4.2.2) и извлечение искомых результатов (§ 7.4.2.3).

7.4.1. Квантовые алгоритмы вычисления энергии

Моделирование гамильтонианов [37], наряду с алгоритмами факторизации [32], были меккой в исследованиях квантовых алгоритмов в 90-е годы. Квантовое моделирование тесно связано с другими квантовыми вычислительными схемами, такими как решение систем линейных уравнений

236

[240], подготовка термодинамических состояний [241] и квантового машинного обучения [242 – 244]. Моделирование гамильтонианов вместе с вычислением фазы позволяет вычислить собственные значения.

7.4.1.1. Моделирование гамильтонианов

Теоретические основы моделирования гамильтонианов, фактически определившие все дальнейшее развитие в этой области, были заложены Ллойдом [37]. Им была дана грубая верхняя оценка времени, необходимого для квантового моделирования. Подчеркнем, что результат Ллойда относится к цифровому квантовому моделированию с использованием квантовых схем. Этот подход отличается от аналогового квантового моделирования, в разработке которого в последнее время достигнуты прорывные результаты

[245 – 249].

Задача моделирования гамильтониана заключается в построении последовательности квантовых схем, аппроксимирующих эволюцию гамильтониана некоторого пробного состояния под действием оператора e−iHt . Для произвольного гамильтониана H число элементарных схем, необходимых для аппроксимации U(t) = e−iHt , возрастает экспоненциально с числом кубитов. Соответственно этому, любой эффективный алгоритм моделирования гамильтониана требует, чтобы моделируемый гамильтониан имел некую специальную структуру. По Ллойду, гамильтониан должен описывать только

Допущение о локальном взаимодействии ведет к квантовому алгоритму, аппроксимирующему динамику во времени. Ключевым моментом здесь является использование декомпозиции Троттера, аппроксимирующей точную

локальные унитарные преобразования могут быть, в принципе, представлены посредством некоторого числа элементарных схем, не зависящим от N.

237

Окончательным результатом, вытекающим из работы Ллойда [37],

системы N (число частиц или число кубитов), число схем оказывается полиномиальным по N, τ и 1/ε . Это доказывает эффективность декомпозиции Троттера для моделирования гамильтонианов с локальным взаимодействием. Упомянем также, что Ллойд предложил фактический первый квантовый алгоритм для моделирования динамики открытых систем, в связи с чем возникают следующие вопросы в области квантового моделирования:

•Существует ли алгоритм для нелокальных гамильтонианов?

•Можно ли улучшить степень полиномиальности по отношению к τ , 1/ε и

||H||?

•Можно ли продвинуться за пределы стандартной эволюции гамильтонианов, реализовать эволюцию открытых систем или эволюцию гамильтонианов, зависящих от времени?

•Можно ли воспользоваться структурой квантово-химических гамильтонианов для улучшения их алгоритмической реализуемости?

Постановке именно этого последнего вопроса обязан основной прогресс квантового моделирования в квантовой химии на квантовых компьютерах, к обсуждению которого мы вернемся в § 7.4.2.2. Прежде, однако, бегло рассмотрим основные достижения в области общих проблем моделирования гамильтонианов.

Додд и Нильсен [251, 252], опираясь на работу Ллойда [37], предложили алгоритмы для моделирования гамильтонианов с использованием сумм тензорных произведений матриц Паули. Независимо от них, Ахаронов и Та-Шма [253] предложили концепцию разреженного (sparse) гамильтониана и, как следствие этого, были поставлены два первых вопроса. Оказалось, что многие физически интересные гамильтонианы разрежены [254] и даже локальны [186, 255]. В этом направлении ведутся интенсивные исследования

[256 – 272].

238

7.4.1.2. Квантовый алгоритм вычисления фазы

Алгоритм вычисления фазы уже рассматривался довольно подробно в § 6.6. Здесь же мы вернемся к обсуждению этого алгоритма с более общих позиций.

Моделирование гамильтониана редко реализуется в виде отдельного самостоятельного алгоритма. Применительно к задачам квантовой химии такой алгоритм обычно находит применение как подпрограмма квантового алгоритма вычисления фазы [231, 263], что некоторым образом напоминает ситуацию с «трюком фон Неймана» [273]. КАВФ обладает «экспоненциальным» преимуществом по сравнению со многими алгоритмами, рассматриваемыми в разделе 7.4.2. Если дан унитарный оператор eiΦ и пробное собственное состояние этого оператора, приготовленное на квантовом компьютере, прогон КАВФ даст на выходе бинарное представление соответствующей фазы Φ . В интересующем нас случае оператором является eiHt и вычисление фазы используется для извлечения информации о спектре гамильтониана.

Принципиальная схема алгоритма показана на рис. 22. КАВФ использует два отдельных регистра кубитов. Первый регистр, содержащий Т вспомогательных кубитов, используется для вывода бинарных представлений собственных энергий λm ; простоты ради, предполагаем, что состояние |ψm во

втором регистре есть собственное состояние унитарного оператора U , собственные значения которого λm мы хотим вычислить.

Рис. 22. Схема КАВФ с тремя вспомогательными кубитами. Сначала вентиль Адамара действует на каждый вспомогательный кубит, порождая суперпозицию. Далее выполняются контролируемые операции U , соответствующие эволюции гамильтониана eiHt . Наконец, используется

обратное КПФ QFT† (§ 6.6, рис. 13; § 7.4.1.3). Входные данные, нулевые на

этом рисунке, задаются на одном регистре, а на другом регистре аккумулируются собственные состояния H . По завершении алгоритма первый регистр содержит собственные значения состояний |ψm .

239